ARC121F Logical Operations on Tree

ARC121F Logical Operations on Tree

下文叶子定义为树中最外层的点。

大大的性质：考虑当一个叶子为 $1\lor$ 时，那么我们只要最后操作这个叶子，无论如何最后都可以得到 $1$。

再思考合法树中叶子的其他情况：

• 当叶子为 $1\land$ 时，它头上的树合法。
• 当叶子为 $0\lor$ 时，它头上的树能够得到 $1$，即合法。
• 当叶子为 $0\land$ 时，它操作之前之后的树合法。

综上，只有 $1\lor$ 比较特殊，存在即合法，其他情况都有“原树合法”的大前提。

注意到，出现 $1\lor$ 这种叶子和头上树合法两种限制满足任意一种即合法。

故考虑容斥，统计没有出现 $1\lor$ 这种叶子的树的数量以及这些树中是合法树的数，最后用总方案 $-$ 没有出现 $1\lor$ 这种叶子的树的数量 $+$ 没有出现 $1\lor$ 这种叶子的树且合法的树的数量得到答案，即为总方案 $-$ 没有出现 $1\lor$ 这种叶子且不合法的情况。

记 $f_u$ 表示 $u$ 的子树中没有出现 $1\lor$ 这种叶子的树的数量，$g_u$ 表示 $u$ 的子树中没有出现 $1\lor$ 这种叶子的树且合法的树的数量。

初始化

$$f_u=2,g_u=1$$

对于 $f$，有转移

$$f_u \leftarrow f_u\left(\prod_{v\in son_u} 2\times f_v-g_v\right)$$

乘 $2$ 是因为边 $(u,v)$ 有 $\land$、$\lor$ 两种可能，减去 $g_v$ 是为了去除子树合法且 $(u,v)$ 为 $\lor$ 的情况。

对于 $g$，有转移

$$g_u\leftarrow g_u\prod_{v\in son_u} f_v$$

注意到这里要求必为合法且无 $1\lor$，所以儿子的每种取值都有唯一对应，如果是 $0$，那么边必须为 $\lor$，如果子树是 $1$，那么边必须为 $\land$。

最后答案就是

$$2^{2n-1}-f_1+g_1$$

时间复杂度 $\mathcal O(n)$。

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define int long long
typedef long long ll;

#define ha putchar(' ')
#define he putchar('\n')

inline int read()
{
	int x = 0, f = 1;
	char c = getchar();
	while (c < '0' || c > '9')
	{
		if (c == '-')
			f = -1;
		c = getchar();
	}
	while (c >= '0' && c <= '9')
		x = (x << 3) + (x << 1) + (c ^ 48), c = getchar();
	return x * f;
}

inline void write(int x)
{
	if(x < 0)
	{
		putchar('-');
		x = -x;
	}
	if(x > 9)
		write(x / 10);
	putchar(x % 10 + 48);
}

const int _ = 1e5 + 10, mod = 998244353;

int n, f[_], g[_];

vector<int> d[_];

int qpow(int y)
{
	int res = 1, x = 2;
	while(y)
	{
		if(y & 1) res = res * x % mod;
		x = x * x % mod, y >>= 1;
	}
	return res;
}

void dfs(int u, int fa)
{
	f[u] = 2, g[u] = 1;
	for(int v : d[u]) if(v != fa)
	{
		dfs(v, u);
		f[u] = f[u] * ((f[v] << 1) % mod + mod - g[v]) % mod;
		g[u] = g[u] * f[v] % mod;
	}
}

signed main()
{
	n = read();
	for(int i = 1, u, v; i < n; ++i)
	{
		u = read(), v = read();
		d[u].push_back(v), d[v].push_back(u);
	}
	dfs(1, 0);
	write((qpow((n << 1) - 1) + mod - f[1] + g[1]) % mod);
	return 0;
}