CF1603D Artistic Partition
设 表示前 个数分成 段的最小值。
转移方程:
观察得:如果 ,考虑在第 段放 个数,只有 的整数对会产生贡献,那么答案即为 ,故 上界为 。可以预处理 数组,后 回答询问。
考虑到 有点难处理,故设 ,则 ,。
考虑使用线段树优化 ,在 的时间内找到最小的 。
再根据莫反知识,有:
考虑怎样维护,我们发现当 由 变到 时,只有那些 的 会发生改变,故预处理因子维护增量即可。
时间复杂度 。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int _ = 1e5 + 5;
int pr[_ / 6], mu[_], cnt, smu[_];
ll sm[_];
bool vis[_];
vector<int> d[_ << 1];
inline void solve(int n)
{
mu[1] = 1;
for(int i = 2; i <= n; ++i)
{
if(!vis[i]) mu[i] = -1, pr[++cnt] = i;
for(int j = 1; j <= cnt && pr[j] * i <= n; ++j)
{
vis[pr[j] * i] = 1;
if(i % pr[j] == 0) break;
mu[pr[j] * i] = -mu[i];
}
}
for(int i = 1; i <= n; ++i)
for(int j = i; j <= n; j += i) d[j].push_back(i);
for(int i = 1; i <= n; ++i) smu[i] = smu[i - 1] + mu[i];
for(int i = 1; i <= n; ++i)
{
sm[i] = sm[i - 1];
for(int f : d[i])
{
sm[i] -= 1ll * mu[f] * (i / f - 1) * (i / f - 1);
sm[i] += 1ll * mu[f] * (i / f) * (i / f);
}
}
}
ll f[20][_];
struct Node
{
ll mn, lz;
} s[_ << 2];
void build(int o, int l, int r, int lv)
{
s[o].lz = 0;
if(l == r)
{
s[o].mn = 2 * f[lv][l];
return;
}
int mid = (l + r) >> 1;
build(o << 1, l, mid, lv);
build(o << 1 | 1, mid + 1, r, lv);
s[o].mn = min(s[o << 1].mn, s[o << 1 | 1].mn);
}
inline void tag(int o, ll v)
{
s[o].lz += v, s[o].mn += v;
}
void update(int o, int l, int r, int p, ll v)
{
if(p <= l)
{
tag(o, v);
return;
}
int mid = (l + r) >> 1;
if(p <= mid)
update(o << 1, l, mid, p, v), tag(o << 1 | 1, v);
else
update(o << 1 | 1, mid + 1, r, p, v);
s[o].mn = min(s[o << 1].mn, s[o << 1 | 1].mn) + s[o].lz;
}
signed main()
{
solve(_ - 5);
memset(f, 0x1f, sizeof f);
f[0][0] = 0;
for(int i = 1; i <= _ - 5; ++i) f[1][i] = 1ll * i * (i + 1) / 2;
for(int i = 2; i <= 18; ++i)
{
build(1, 0, _ - 5, i - 1);
for(int j = 1; j <= _ - 5; ++j)
{
for(int f : d[j])
{
ll a = ((j / f == 1) ? 0 : 1) + sm[j / f - 1];
ll b = 1 + sm[j / f];
update(1, 0, _ - 5, f, a - b);
}
f[i][j] = ((s[1].mn + s[1].lz) / 2) + 1ll * j * (j + 1) / 2;
}
}
int q, n, k;
scanf("%d", &q);
while(q--)
{
scanf("%d%d", &n, &k);
if(k > 18) printf("%d\n", n);
else printf("%lld\n", f[k][n]);
}
return 0;
}
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