[ABC301Ex] Difference of Distance 题解

建立原图的最小生成树，那么两点路径最大值的最小值即为 MST 上两点路径最大边权。

设修改边 $(x,y)$，原权值为 $w$。

首先查询 $s$ 到 $t$ 的最小瓶颈是否是 $w$，如果不是，显然没有影响。

否则问题转化为：仅考虑边权 $\leq w$ 的边，$(x,y)$ 是否为 $s,t$ 之间的割边。

将询问离线下来，扫描线按边权排序，将边权 $\leq w$ 的非树边 $(u,v)$ 加入，将 $u$ 到 $v$ 的点合并，并查集维护。

最后查询 $s,t$ 点是否在同一个并查集且 $(x,y)$ 是否在 $s,t$ 在 MST 的路径上即可，因为加的是非树边，所以若 $s,t$ 不连通则无法从 $s$ 通过非树边到达 $t$，故此时 $(x,y)$ 为割边。

时间复杂度 $\mathcal O(n \log n)$。