[ARC160D] Mahjong 题解

若 $m \not\equiv 0 \pmod k$，无解。

考虑将操作二个数限制为 $< k$，否则可转化为几次操作一和 $\le k$ 次操作二，那么一个操作集合唯一对应一种最终序列，于是对操作集合进行计数即可。

记序列 $b_{1\sim n-k+1}$ 为每个点作为二操作开头加了几次，记 $b_{n-k+2\sim 2n-k+1}$ 中 $b_i$ 为点 $i-(n-k+1)$ 用了几次操作一那么计数 $b$ 序列即可。

需要满足以下条件：

• $\forall i\in[1,n-k+1],b_i<k$
• $\sum\limits_{i=1}^{2n-k+1}b_i=\frac{m}{k}$

带限制，考虑容斥，钦定前 $n-k+1$ 个元素中至少有 $i$ 个不合法，则计数和为 $\frac{m}{k}-ik$ 的 $b$ 序列即可，由插板法得：

$$ans=\sum_{i=0}^{n-k+1}(-1)^{i} \begin{pmatrix}n-k+1\\i\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{m}{k}-ik+2n-k\\2n-k\end{pmatrix}$$

时间复杂度 $\mathcal O(n^2\log mod)$。