AT_arc167_c [ARC167C] MST on Line++

考虑我们求最小生成树的过程。

$$sum=\sum a_i f_i$$

其中 $a_i$ 单增，表示第 $i$ 大的边，$f_i$ 表示选了权值为 $a_i$ 的边的数量。

我怎么求数量。

考虑这个问题：

保留原图边权 $\leq x$ 的边，选择最多的边使得不构成环，答案记为 $g(x)$。

则 $f_i=g(i)-g(i-1)$。

为什么。考虑任意取边，能取就取，最后的答案一定为 $g(x)$，且 $g(x)-g(x-1)$ 可以看成某些联通块连在一起了，也就是我们选上 $f_i$ 条权值为 $a_i$ 的边。

好了，保留边权 $\leq x$ 的边，那么我并不需要知道值，只需要知道下标，由于边权要取 max，那么我找到所有 $p_j \leq i$ 的下标 $j$ 记录到集合 S，则 $a_{p_j}\leq a_i$。

将 $S$ 排序，那么保留边权 $\leq a_i$ 的边，相当于 $S_i$ 之间两两连边。

我们可以贪心，取 $S_i$ 和 $S_{i+1}$，因为如果相邻 $\leq k$ 的才有边，而这些对一定能构成边的一组解。

于是我们计数 $\sum[S_{i+1}-S_{i}\leq k]$，假设共有 $x=a_i$ 个数，则有 $x-1$ 段，我们枚举是第几段，和 $S_{i+1}-S_{i}$ 的值，有：

$$(x-1)\sum_{j=1}^{k}\begin{pmatrix}n-j\\x-1\end{pmatrix}$$

意思是我们选除了 $s_{i+1}$ 的其他 $x-1$ 个数，因为 $s_{i+1}$ 可以推出来，然后因为 $S_i$ 和 $S_{i+1}$ 在排序后是相邻的，那么取的数不能在 $[S_i,S_{i+1}]$ 中。

再算上排列的方案数，有：

$$g_i=i!(n-i)!(i-1)\sum_{j=1}^{k}\begin{pmatrix}n-j\\i-1\end{pmatrix}$$

答案随便算了。

当然，可以上指标求和。