Introduction to The Design and Analysis of Algorithms - 第一章

第一章

1.1什么是算法

算法（algorithm）是一系列解决问题的明确指令，也就是说，对于符合一定规范的输入，能够在有限时间内获得要求的输出。要点：

• 算法的每一个步骤都必须没有歧义

• 必须认真确定算法所处理的输入的值域

• 同一种算法可以用多种形式来描述

• 同一问题，可能存在几种不同的算法

• 针对同一问题的算法可能基于完全不同的解题思路，而且解题速度也会有显著不同

  计算两个整数的最大公约数

1. 欧几里得算法（Euclid's algorithm）

   gcd(m,n) = gcd(n, m mod n)

   1. 如果n=0,返回m的值作为结果，同时过程结束；否则进入下一步

   2. m除以n,将余数赋给r

   3. 将n的值赋给m,将r的值赋给n，返回第一步

      int gcd(int m, int n) {
          if (n == 0)return m;
          int r = m % n;
          gcd(n, r);
      }
      

2. 连续整数检测算法

   1：将min{m,n}的值赋给t

   2：m/t，如果余数为0，则进入第三步；否则进入第四步

   3：n/t，如果余数为0，则返回t的值作为结果；否则进入第四步

   4：把t的值减1。返回第二步。

   int gcd_1(int m, int n) {
       int t = m - n > 0 ? n : m;
       for (; t >= 1; t--) {
           if (m % t == 0 && n % t == 0)return t;
       }
       return 0;
   }
   

3. 中学时计算方法 + 埃拉托色尼筛选法

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   习题1.1

   设计一个计算求sqrt(n)（下取整）的算法，n是任意正整数。除了赋值和比较运算，该算法只能用到基本的四则运算操作。

   1. 完全平方数（square number）的差为奇数数列：

   2. delta(1) = 1；square(1) = 1；i = （delta + 1）/2

      int sqrt0(int n) {
          int delta = 1;
          for (int square = 1; square <= n; delta += 2) {
              square += delta;
          }
          return (delta - 1) / 2;
      }
      

1.2算法问题求解基础

1. 上节提到的重要观点：

   可以认为算法是问题的程序化解决方案

2. 算法设计分析过程中的一系列典型步骤：
   

3. 理解问题

4. 确定以下内容

   • 计算方法
   • 精确或近似方法
   • 算法设计技术

5. 设计算法

6. 正确性证明

7. 分析算法

8. 写代码