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1、集合的异或运算(AΔB)定义

2、对称差(异或)运算的定律
2.1 AΔB = (A-B)∪(B-A) = (A∪B)-(A∩B)

2.2 对称差运算的交换律
(AΔB)ΔC = (AΔC)ΔB

(AΔB)ΔC
= [(A-B)∪(B-A)]△C
= {[(A-B)∪(B-A)] - C} ∪ {C - [(A-B)∪(B-A)]}

= {[(A∩～B)∪(～A∩B)] ∩ (～C)} ∪ {C∩～[(A∩～B)∪(～A∩B)]}

{[(A∩～B)∪(～A∩B)] ∩ (～C)}

{[(A∩～B)∪(～A∩B)] ∩ (～C)}
= {[(A∩～B)∩(～C)]∪[(～A∩B)∩(～C)]}

= {(A∩～B∩～C)∪(～A∩B∩～C)}

{C∩～[(A∩～B)∪(～A∩B)]}

= {C∩[～(A∩～B)∩～(～A∩B)]}

= {C∩[(～A∪～～B)∩(～～A∪～B)]}
∵～～B = B，～～A = A
∴{C∩[(～A∪～～B)∩(～～A∪～B)]} = {C∩[(～A∪B)∩(A∪～B)]}

[(～A∪B)∩(A∪～B)]
= [(～A∪B)∩A]∪[(～A∪B)∩～B)]

= [(～A∩A)∪(B∩A)]∪[(～A∩～B)∪(B∩～B)]
= [φ∪(B∩A)]∪[(～A∩～B)∪φ]
= (B∩A)∪(～A∩～B)
∴{C∩[(～A∪B)∩(A∪～B)]} = {C∩(B∩A)∪(～A∩～B))

= (A∩B∩C)∪(～A∩～B∩C)

∴(AΔB)ΔC = {(A∩～B∩～C)∪(～A∩B∩～C)} ∪ (A∩B∩C)∪(～A∩～B∩C)

(AΔC)ΔB = {(A∩～C∩～B)∪(～A∩C∩～B)} ∪ (A∩C∩B)∪(～A∩～C∩B)

(AΔC)ΔB = {(A∩～B∩～C)∪(～A∩B∩～C)} ∪ (A∩B∩C)∪(～A∩～B∩C)
∴(AΔB)ΔC = (AΔC)ΔB

3、集合的异或运算在计算机中的应用
3.1 证明：当 AΔB = C 时，AΔC = B

图2中草绿色部分即为 C，三角形区域为 A，AΔC = 仅有草绿色或仅有三角形的区域 = B

∵AΔB = C
∴C = (A∪B)-(A∩B)

AΔC = AΔ[(A∪B)-(A∩B)]
= {A∪[(A∪B)-(A∩B)]} - {A∩[(A∪B)-(A∩B)]}

{A∪[(A∪B)-(A∩B)]}
= A∪{(A∪B)∩[～(A∩B)]}

= [A∪(A∪B)] ∩ {A∪[～(A∩B)]}
= (A∪B) ∩ {A∪[～(A∩B)]}

= (A∪B) ∩ {A∪[～A∪～B)]}
= (A∪B) ∩ {(A∪～A)∪～B}
= (A∪B) ∩ {E∪～B}
= (A∪B) ∩ E
= (A∪B)

{A∩[(A∪B)-(A∩B)]}
= A∩{(A∪B)∩[～(A∩B)]}
= A∩(A∪B)∩[～(A∩B)]

A∩(A∪B) = A
A∩(A∪B)∩[～(A∩B)] = A∩[～(A∩B)]

AΔC = (A∪B) - {A∩[～(A∩B)]}

(A∪B) - {A∩[～(A∩B)]} = (A∪B) ∩ {～ {A∩[～(A∩B)]}}

= (A∪B) ∩ {～A∪～[～(A∩B)]}
= (A∪B) ∩ {～A∪(A∩B)}
= (A∪B) ∩ {～A∪(A∩B)}

= (A∪B) ∩ {(～A∪A)∩(～A∪B)}
= (A∪B) ∩ {E∩(～A∪B)}
= (A∪B) ∩ (～A∪B)

= B∪(A∩～A)
= B∪(φ)
= B
∴AΔC = B

3.2 《离散数学及其应用》第6版P83 21 题

∵AΔB = AΔC = D

∵AΔC = D
∴AΔD = C = B
∴C = B

3.3 《离散数学及其应用》第6版P83 19 题

a) AΔA= Φ  b) AΔΦ = A
c) AΔE= ～A d) AΔ(～A)= E

a) 证明：
AΔA= (A-A)∪(A-A) = Φ∪Φ = Φ
b) 证明：
AΔΦ = (A∪Φ)-(A∩Φ) = A-Φ = A
c) 证明：
AΔE= (A∪E)-(A∩E) = E-A = ～A
d) 证明：
AΔ(～A)= (A∪～A)-(A∩～A) = E-Φ = E

a) AΔA= Φ 即表示 A xor A = 0

c) AΔE= ～A 给出了异或和补集的转换公式，即异或和反码的转换

posted on 2015-12-06 09:57  organic  阅读(...)  评论(... 编辑 收藏