求输出和为n的所有连续自然数序列

 

这是编程之美中的一道题。编程之美中的题目是这样的：

1+2=3

4+5=9

2+3+4=9

等式的左边都是两个或者两个以上的连续自然数相加，那么是不是所有的整数都可以写成这样的形式？

问题1：写个程序，对于一个64位正整数，输出它所有可能的连续自然数之和（两个数以上）的算式。

问题2：哪些数字不能不能表示成连续自然数之和？能否证明。

问题3：在64位正整数的范围内，子序列数目最多的数是哪一个？能否用数学知识推导出来。

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问题1：

这个最先想到方法就是蛮力法。对于一个i (1<i<n)进行测试，看一i开头的自然数序列是不是能得到n这个和。C#代码如下：

public static void getSequence(int S)
{
　　writer.WriteLine("--------"+S+"---------");
　　int sum ;
　　for (int i = 1; i < S; i++)
　　{
　　　　sum = 0;
　　List<int> ns=new List<int>();
　　for (int j = i; j <= S&&sum<S; j++)
　　{
　　　　sum += j;
　　　　ns.Add(j);
　　if (sum == S)
　　{
　　　　printArray(ns);
break;
　　}
}
}
}

这个算法的时间负责度是O(n*n)级别的。

一些改进可以来对数学公式的应用。

假设这个连续序列为m,m+1,m+2,…,m+k-1，其中m>0,k>1.那么s=(m+m+k-1)*k/2,即2*s=(2*m+k-1)*k.只要找到m和k的值，这个序列就可以求出. m和k有何关系? 容易发现，(2*m+k-1)和k肯定是前者大于后者，并且一个为奇数一个为偶数。因此将2*s进行分解表示为2*s=2^t*a.其中a是个奇数，将a进行因式分解变成a=b*c，那么2*s=2^t*b*c.求出所有2*s的一个奇数和一个偶数的因子分解，就找到了对应的2*m+k-1和k，进而能够解出m和k.

 

下面是上述思想的java实现。

public void getSequence(int S){
System.out.println("------"+S+"------");

int t=get2(2*S);
int a=(int)(2*S/Math.pow(2, t));
if(a==1){
System.out.println(String.format("%d has no solution", S));
return;
}
ArrayList<Integer[]> pairs=getFactors(a);
for(Integer[] pa:pairs){
for(int i=0;i<2;i++){
int b=pa[i];
int j=(i+1)%2;
int c=pa[j];
int k=0;
int m=0;
k=(int)Math.min(Math.pow(2, t)*b,c);
if(k>1){
m=(int)(Math.max(Math.pow(2, t)*b,c)-k+1)/2;
printSequence(S,m,k);
}
if(b==c){
break;
}
}
}
}

public ArrayList<Integer[]> getFactors(int a){
ArrayList<Integer[]> factorPair=new ArrayList<Integer[]>();
for(int i=1;i<=(int)Math.floor(Math.sqrt(a));i++){
if(a%i==0){
Integer[] pair=new Integer[2];
pair[0]=i;
pair[1]=a/i;
factorPair.add(pair);
}
}
return factorPair;
}

public int get2(int a){
int t=0;
while(a%2==0){
t++;
a=a/2;
}
return t;
}

public void printSequence(int S,int m,int k){
StringBuilder sb=new StringBuilder();
sb.append(S);
sb.append("=");
for(int i=0;i<k;i++){
sb.append(m+i);
sb.append("+");
}
String str=sb.toString();
System.out.println(str.substring(0,str.length()-1));
}

 从上面的解的过程，我们也发现了问题2的答案。那就是当n为2的幂次方时，n不能够被分解为这样的连续自然数的和的形式。因为这时n=(m+m+k-1)*k/2是无解的。

 

 关于问题3，看来分解序列最多的生成的a能够分解成不同b*c数最多的那个，注意a是个奇数。64位正整数的范围内，哪个奇数能够产生最多的这样的因式分解？从网上看到这个数应该是3^n这样的形式，因为3是所有质数的最小值，最细刻度的划分，可能会产生最多中划分形式。这样说也有理由，但是不能严谨的证明。而且不用64位，用4位，即n为0到15的正整数，子序列最多的不是9而是15。这样看来3^n不一定正确，但是我觉得这个思路是对的--尽可能的细划分。有时间在研究吧