原创----杭电1204, 糖果大战解题报告

首先要说明几点:

1. 这是一道数学题, 对学过随机过程的来说非常easy, 就是一个非常简单的Markov 过程. 不然的话会感觉无从下手, 想彻底搞明白的话,建议看看随机过程的书.
   
2. 出题人喜欢玩儿些文字游戏, 设置了一些很无聊的陷阱, 非常无趣.
3. 代码简单, 但要注意几个条件判断的顺序.
   
4. 杭电的bbs上好像有人给出了大概的思路, 不过其中的数学公式有问题.

　　我们用X_t表示t时刻S君手中的糖果数, 则{X_t,t=0, 1, 2.....}是一个Markov Chain. 其状态转移概率为
                    P₀₀=P_NN=1, 这里N = m+n
                    P_{i, i+1}=p(1-q), P_{i, i-1}=(1-p)q, P_{i, i}=1-p(1-q)-q(1-p), i=1, 2, 3...., N-1; (*)
该MC的状态有3类{0}, {1, 2, ..., N-1}, 以及{N}, 其中第二类是非常返的, 第一三类是常返的, 因为每个一非常返态通常仅到达有穷多次, 所以在进行可以在进行有穷多次博弈后, S君或者最终赢得所有糖果, 或者输掉所有糖果.
　　这里我们的定义f_i=f_iN=P(S君经过有限次博弈赢得N个糖果|X₀=i), 这里f_i是一个条件概率, 就是开始的时候有i个糖果, 最中赢得N个糖果的概率. 从(*)式可以知道, 当我们有在某时刻t有i个糖果, 我们可以有三种途径可以最终赢得N个糖果. 1. 赢得一个糖果, 概率是p(1-q), 这是下一个时刻t+1G君就有了i+1个糖果. 2. 输掉比赛, 在下一个时刻变成了i-1个糖果, 概率是q(1-p). 3. 打成平手, 下一个时刻还有i个糖果, 概率是1-p(1-q)-q(1-p). 这样我么就可以得到如下公式
                   f_i=p(1-q)*f_i+1+q(1-p)*f_i-1+(1-p(1-q)-q(1-p))*f_i
令 P=p(1-q), Q=q(1-p), K=Q/P, 则
　　              f_i+1-f_i=K(f_i-f_i-1)
f_i+1-f_i是简单的等比数列, 则 f_i+1-f_i=Kⁱ(f₁-f₀). 注意到f_N=1,  f₀=0, 这里N=m+n;
　　　　　　　f₂-f₁=Kf₁
　　　　　　　f₃-f₂=K²f₁
　　　　　　　................
　　　　　　   f_n-f_n-1=K^n-1f₁
                   ..............
                   f_m+n-f_m+n-1=K^m+n-1f₁
相加一下, f_n=(1+K+K²+...+K^n-1)f₁, f_n+m=(1+K+K²+...+K^m+n-1)f₁
所以f_n=(1+K+K²+...+K^n-1)/(1+K+K²+...+K^m+n-1), k!=1时, 可以化简为f_n=(1-Kⁿ)/(1-K^m+n)
Done!
下面是个AC的代码, enjoy!

 1#include <stdio.h>
 2#include <math.h>
 3const double EPS = 1e-12;
 4
 5inline void solve(int n, int m, double p, double q) {
 6    if(n==0) {
 7        printf("0.00\n");
 8    }
 9    else if(m==0) {
10        printf("1.00\n");
11    }
12    else if(p==0.0||q==1.0) {
13        printf("0.00\n");
14    }
15    else {
16        double lamda = q*(1-p)/(p*(1-q));
17        if(fabs(lamda-1.0)<EPS) {
18            printf("%.2lf\n", double(n)/(m+n));
19        }
20        else {
21            double res = (1-pow(lamda, n))/(1-pow(lamda, m+n));
22            printf("%.2lf\n", res);
23        }
24    }
25}
26
27int main()
28{
29    int n, m;
30    double p, q;
31    while(scanf("%d%d%lf%lf", &n, &m, &p, &q)!=EOF) {
32        solve(n, m, p, q);
33    }
34    return 0;
35}