（论文阅读）RelaxNet: A structure-preserving neural network to approximate the Boltzmann collision operator

1. 论文

题目： RelaxNet: A structure-preserving neural network to approximate the Boltzmann collision operator
代码：
会议/期刊： JCP，2023
摘要：

本文提出了一种基于神经网络的代理模型，被称为 RelaxNet，能够为五重碰撞积分提供保结构的近似值。进一步的，本文将机械对流算子与基于 PelaxNet 的碰撞算子融合为一个统一的模型，称为 Universal Boltzmann Equation (UBE).

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2. 问题描述：

对于稀薄单原子气体，在没有外力时，Boltzmann 方程如下所示：

其中，\(\{ \mathbf{v}, \mathbf{v}_{\ast}\}\) 表示两类碰撞粒子碰撞前的速度，\(\{ \mathbf{v}', \mathbf{v}_{\ast}'\}\) 表示相应的碰撞后的速度。\(\mathcal{B}(cos \theta, g)\) 测量不同方向碰撞的概率，其中 \(\theta\) 是偏转角，\(g=|\mathbf{g}|=|\mathbf{v} - \mathbf{v}_{\ast}|\) 是碰撞前相对速度的大小，\(\Omega\) 定义了碰撞后相对速度 \(\mathbf{v}' - \mathbf{v}_{\ast}'\) 方向上的单位向量，偏转角满足 \(\theta = \Omega \cdot \mathbf{g} / g\)。

定义碰撞频率为：

那么1式的碰撞项就可以写为一组正负的组合，即：

Boltzmann 方程具有某些结构特性，例如 H-theorem，守恒性等。通过式子 (3) 与 H-theorem，一些松弛方法已经被发展用于简化 Boltzmann equation 右端项中五重积分的计算，通常具有如下形式：

其中$ \varepsilon$ 定义目标平衡态，\(\nu\) 是松驰频率。

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3. 所提出方法：

3.1 模型部分

现在的问题是如何近似 (11) 式：仿照残差网络结构，本文假设 (11) 式可以写成如下形式：

即 \(f\) 被看作嵌套进 \(\epsilon\) 中。

那我们就有了如下模型的设计：

​ 输入：\(f\) 和 \(\bar \tau = \frac{\mu}{p}\) （平均松弛时间，取决于粘度系数和压力）

​ 输出：碰撞项 \(\mathcal{Q}\) 的数值近似

这样原来的Boltzmann方程就可以被重写为下式：

特别的，当NN训练完成后，得到的 (18) 式是没有五重积分计算的。

所以整体的训练流程是：

1. 训练NN
2. 将训练好的NN带入Boltzmann 方程右端，使用有限体方法求解方程 (18)。

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3.2 训练策略：

给定一批成对的数据 \(\{ (f, \tau) , \mathcal{Q}(f) \}\) ，模型使用如下损失优化：

重构损失 + 保结构约束（由section 2 性质2推出守恒性） + 正则化。

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3.3 结合有限体方法求解 Boltzmann 方程

首先将控制体积中粒子分布函数的平均值表示为：

其中 \(\Omega_i,\Omega_j\) 分别表示物理和速度场的离散。

分布函数的更新算法为（第三项现在就是简单的数值积分）：

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4. 实验：

paper

5 讨论：**

本文使用了神经网络来替代了数值方法中对五重积分的处理。

对于图7，模型是不是过拟合了？
只用全连接会不会学的不好