数论新知识---扩展中国剩余定理（EXCTR）

新的数论

EXCTR（扩展中国剩余定理）

• 我们知道，中国剩余定理是用来解同余方程组

\[\left\{ \begin{aligned} x ≡ c_1(mod &m_1) \\ x ≡ c_2(mod&m_2) \\ . \\ . \\ . \\ x ≡ c_r(mod &m_r) \end{aligned} \right. \]

• 但是有一个非常令人不爽的事情就是它要求\(m_1,m_2…,m_r\)两两互素
  如果某个毒瘤出题人偏要求它们不互素呢？
  那就没办法了鸭，只能打死出题人 才怪

• 其实也有解决的办法
  就是把出题人吊起来干一顿用扩展中国剩余定理（exctr）（敲重点）

• 扩展中国剩余定理跟中国剩余定理没半毛钱关系，一个是用扩展欧几里得，一个是用构造

  • 首先我们还是从简单入手，考虑一下如果同余方程组只有两个式子的情况

\[x≡c_1(\mod m_1)$$ $$x≡c_2(\mod m_2) \]

将两个式子变形

\[x=c_1+m_1k_1$$ $$x=c_2+m_2k_2 \]

联立

\[c_1+m_1k_1=c_2+m_2k_2 \]

移项

\[m_1k_1=c_2−c_1+m_2k_2 \]

我们用(a,b)表示a,b的最大公约数
在这里需要注意，这个方程有解的条件是\((m_1,m_2)|(c_2−c_1)\)，因为后面会用到\(\frac {(c_2−c_1)}{(m_2,m_1)}\)这一项，如果不整除的话肯定会出现小数。                                
对于上面的方程，两边同除\((m_1,m_2)\)

\[\frac {m_1k_1}{(m_1,m_2)}=\frac {c_2−c_1}{(m_1,m_2)}+\frac {m_2k_2}{(m_1,m_2)}$$ $$\frac {m_1}{(m_1,m_2)}k_1=\frac {c_2−c_1}{(m_1,m_2)}+\frac {m_2}{(m_1,m_2)}k_2 \]

转换一下

\[\frac {m_1}{(m_1,m_2)}k_1≡\frac {c_2−c_1}{(m_1,m_2)}(mod \frac {m_2}{(m_1,m_2)}) \]

此时我们已经成功把\(k_2\)消去了。
            
同余式两边同除\(\frac {m_1}{(m_1,m_2)}\)

\[k_1≡inv(\frac {m_1}{(m_1,m_2)},\frac {m_2}{(m_1,m_2)})∗\frac {(c_2−c_1)}{(m_1,m_2)}(mod \frac {m_2}{(m_1,m_2)}) \]

inv(a,b)表示a在模b意义下的逆元

\[k_1=inv(\frac {m_1}{(m_1,m_2)},\frac {m_2}{(m_1,m_2)})∗\frac {(c_2−c_1)}{(m_1,m_2)}+\frac {m_2}{(m_1,m_2)}∗y \]

接下来怎么办呢？这个式子已经化到最简了。。。
不要忘了，我们刚开始还有两个式子。我们把\(k_1\)代回去！

\[x=inv(\frac {m_1}{(m_1,m_2)},\frac {m_2}{(m_1,m_2)})∗\frac {(c_2−c_1)}{(m_1,m_2)}∗m_1+y\frac {m_1m_2}{(m_1,m_2)}+c_1$$ $$x≡inv(\frac {m_1}{(m_1,m_2)},\frac {m_2}{(m_1,m_2)})∗\frac {(c_2−c_1)}{(m_1,m_2)}∗m_1+c_1(mod\frac {m_1m_2}{(m_1,m_2)}) \]

此时，整个式子中的元素我们都已经知道了
具体一点，这个式子可以看做是

\[x≡c (\mod m) \]

其中

\[c=(inv(\frac {m_1}{(m_1,m_2)},\frac {m_2}{(m_1,m_2)})∗\frac {(c_2−c_1)}{(m_1,m_2)})\%\frac {m_2}{(m_1,m_2)}∗m_1+c_1$$ $$m=\frac {m_1m_2}{(m_1,m_2)} \]

* 推广一下：我们每次把两个同余式合并，求解之后得到一个新的同余式。再把新的同余式和其他的联立，最终就可以求出满足条件的解。