Armstrong公理系统与模式分解🌵

 

Armstrong公理系统

🎈Armstrong公理系统（函数依赖的公理系统）：设关系模式R(U,F)，其中U为属性集，F是U上的一 组函数依赖，那么有如下推理规则：

1. 自反律：若Y⊆X⊆U，则X→Y为F所蕴涵。

2. 增广律：若X→Y为F所蕴涵，且Z⊆U，则XZ→YZ为F所蕴涵。

3. 传递律：若X→Y，Y→Z为F所蕴涵，则X→Z为F所蕴涵。

🎈根据上述三条推理规则又可推出下述三条推理规则：

1. 合并规则：若X→Y，X→Z，则X→YZ为F所蕴涵。

2. 伪传递律：若X→Y，WY→Z，则XW→Z为F所蕴涵。

3. 分解规则：若X→Y，Z⊆Y，则X→Z为F所蕴涵。

 

函数依赖的闭包F +

• 定义：关系模式R(U,F)中为F所逻辑蕴含的函数依赖的全体称为F的闭 包，记为：F + 。

 

属性的闭包XF +

• 定义：设F为属性集U上的一组函数依赖，X⊆U，XF +={A|X→A能由F根据Armstrong公 理导出}，则称XF +为属性集X关于函数依赖集F的闭包。属性集X的闭包XF +是指所有能由X决定的属性集合

 

🎁候选码的求解方法

给定一个关系模式R(U,F),U={A1,A2,…,An}，F是R的函数依赖集，那么，可以将属性分为如下四类：

• L：仅出现在函数依赖集F左部的属性

• R：仅出现在函数依赖集F右部的属性

• LR：在函数依赖集F左右部都出现的属性

• NLR：在函数依赖集F左右部都未出现的属性

求解方法

1. 根据题意，将所有的属性分类：

   • L：只在左边出现，一定是

   • R：只在右边出现，一定不是

   • LR：左右都出现，有可能是，也有可能不是

   • NLR：左右都没出现，一定是

2. 将所有的L类和NLR类属性组合起来，设为P，求其闭包PF + ，如果是全集U， 那么它就是候选码✨。

3. 如果PF +不是全集U，则依次将LR类属性跟P组合起来求闭包，只要其闭包是 全集U，就是候选码。

 

最小函数依赖集

🎈如果函数依赖集F满足下列条件，则称F为一个最小函数依赖集，或称极小函数依赖集或最小覆盖。

• 所有函数依赖的右侧只有一个属性。

• 没有冗余的函数依赖。

• 所有函数依赖的左侧没有冗余的属性。

 

无损连接

无损连接是指将一个关系模式分解成若干个关系模式后，通过自然连接和投影等运算仍能还原到 原来的关系模式，则称这种分解为无损连接分解。

• 🎈定理：关系模式R(U,F)的一个分解ρ ={ R1(U1,F1),R2(U2,F2)}，具有无损连接的充分必要的条件是： U1⋂U2→U1－U2∈F+或U1⋂U2→U2－U1∈F+ 。

• 注意：这个定理只适用于分解为两个子模式的情况，分解为多个子模式的时候不适用。

 

保持函数依赖

• 定义：设关系模式R(U,F)的一个分解 ρ ={R1(U1,F1), R2(U2,F2),…,Rk(Uk,Fk)}，如 果F+=(⋃Fi)+ ，则称分解ρ保持函数依赖。 即：（F1⋃F2⋃F3⋃…⋃Fk) + = F +