机器学习—奇异值分解（SVD）
以下内容来自刘建平Pinard-博客园的学习笔记。
奇异值分解(Singular Value Decomposition，以下简称SVD)是在机器学习领域广泛应用的算法，它不光可以用于降维算法中的特征分解，还可以用于推荐系统，以及自然语言处理等领域。是很多机器学习算法的基石。本文就对SVD的原理做一个总结，并讨论在在PCA降维算法中是如何运用运用SVD的。
1. 回顾特征值和特征向量
我们首先回顾下特征值和特征向量的定义如下：
$Ax=\lambda x$
其中A是一个$n×n$的实对称矩阵，$x$是一个$n$维向量，则我们说$λ$是矩阵$A$的一个特征值，而$x$是矩阵$A$的特征值$λ$所对应的特征向量。
求出特征值和特征向量有什么好处呢？ 就是我们可以将矩阵$A$特征分解。如果我们求出了矩阵$A$的$n$个特征值$\lambda_1\leq\lambda_2\leq\lambda_3\cdots \leq\lambda_n$，以及这$n$个特征值所对应的特征向量$\left\{w_1,w_2,w_3,...w_n \right\}$，如果这$n$个特征向量线性无关，那么矩阵$A$就可以用下式的特征分解表示：
$A=W\Sigma W^{-1}$
其中$W$是这$n$个特征向量所张成的$n×n$维矩阵，而$\Sigma$为这$n$个特征值为主对角线的$n×n$维矩阵。
一般我们会把$W$的这$n$个特征向量标准化，即满足$||w_i||_2=1$, 或者说$w_{i}^{T}w_i=1$，此时$W$的$n$个特征向量为标准正交基，满足$W^TW=I$，即$W^T=W^{-1}$, 也就是说$W$为酉矩阵。
这样我们的特征分解表达式可以写成
$A=W\Sigma W^T$
注意到要进行特征分解，矩阵$A$必须为方阵。那么如果$A$不是方阵，即行和列不相同时，我们还可以对矩阵进行分解吗？答案是可以，此时我们的SVD登场了。
2. SVD的定义
SVD也是对矩阵进行分解，但是和特征分解不同，SVD并不要求要分解的矩阵为方阵。假设我们的矩阵$A$是一个$m\times n$的矩阵，那么我们定义矩阵$A$的SVD为：
$A=U\Sigma V^T$
其中$U$是一个$m\times m$的矩阵，$\Sigma$是一个$m\times n$的矩阵，除了主对角线上的元素以外全为0，主对角线上的每个元素都称为奇异值，$V$是一个$n\times n$的矩阵。$U$和$V$都是酉矩阵，即满足$U^TU=I$,$V^TV=I$。下图可以很形象的看出上面SVD的定义：
那么我们如何求出SVD分解后的U,Σ,V这三个矩阵呢？
如果我们将A的转置和A做矩阵乘法，那么会得到n×n的一个方阵$A^TA$。既然$A^TA$是方阵，那么我们就可以进行特征分解，得到的特征值和特征向量满足下式：
$(A^TA)v_i=λ_iv_i$
这样我们就可以得到矩阵$A^TA$的n个特征值和对应的n个特征向量v了。将$A^TA$的所有特征向量张成一个n×n的矩阵V，就是我们SVD公式里面的V矩阵了。一般我们将V中的每个特征向量叫做A的右奇异向量。
如果我们将A和A的转置做矩阵乘法，那么会得到m×m的一个方阵$AA^T$。既然$AA^T$是方阵，那么我们就可以进行特征分解，得到的特征值和特征向量满足下式：
$(AA^T)u_i=λ_iu_i$
这样我们就可以得到矩阵$AA^T$的m个特征值和对应的m个特征向量u了。将AAT的所有特征向量张成一个m×m的矩阵U，就是我们SVD公式里面的U矩阵了。一般我们将U中的每个特征向量叫做A的左奇异向量。
U和V我们都求出来了，现在就剩下奇异值矩阵Σ没有求出了。由于Σ除了对角线上是奇异值其他位置都是0，那我们只需要求出每个奇异值σ就可以了。
我们注意到:
$A=U\Sigma V^T\Rightarrow AV=U\Sigma V^TV\Rightarrow AV=U\Sigma \Rightarrow Av_i=\sigma_iu_i\Rightarrow \sigma_i = Av_i/u_i$
这样我们可以求出我们的每个奇异值，进而求出奇异值矩阵Σ。
上面还有一个问题没有讲，就是我们说ATA的特征向量组成的就是我们SVD中的V矩阵，而$AA^T$的特征向量组成的就是我们SVD中的U矩阵，这有什么根据吗？这个其实很容易证明，我们以V矩阵的证明为例。
$A=U\Sigma V^T\Rightarrow A^T=V\Sigma ^TU^T\Rightarrow A^TA=V\Sigma ^TU^TU\Sigma V^T=V\Sigma ^2V^T$
上式证明使用了:$U^TU=I,\Sigma ^T\Sigma=\Sigma ^2$。可以看出$A^TA$的特征向量组成的的确就是我们SVD中的V矩阵。类似的方法可以得到$AA^T$的特征向量组成的就是我们SVD中的U矩阵。
进一步我们还可以看出我们的特征值矩阵等于奇异值矩阵的平方，也就是说特征值和奇异值满足如下关系：
$\sigma_i=\sqrt{\lambda_i}$
这样也就是说，我们可以不用σi=Avi/ui来计算奇异值，也可以通过求出ATA的特征值取平方根来求奇异值。
3. SVD计算举例
这里我们用一个简单的例子来说明矩阵是如何进行奇异值分解的。我们的矩阵A定义为：
$A=\begin{pmatrix}0 & 1 \\1 & 1 \\1 & 0 \\\end{pmatrix}$
我们首先求出$A^TA$和$AA^T$：
进而求出$A^TA$的特征值和特征向量：
接着求$AA^T$的特征值和特征向量：
利用$Av_i=\sigma_iu_i$,i=1,2求奇异值：
当然，我们也可以用$\sigma_i=\sqrt{\lambda_i}$直接求出奇异值为$\sqrt{3}$和1.
最终得到A的奇异值分解为：
4. SVD的一些性质
上面几节我们对SVD的定义和计算做了详细的描述，似乎看不出我们费这么大的力气做SVD有什么好处。那么SVD有什么重要的性质值得我们注意呢？
对于奇异值,它跟我们特征分解中的特征值类似，在奇异值矩阵中也是按照从大到小排列，而且奇异值的减少特别的快，在很多情况下，前10%甚至1%的奇异值的和就占了全部的奇异值之和的99%以上的比例。也就是说，我们也可以用最大的k个的奇异值和对应的左右奇异向量来近似描述矩阵。也就是说：
$A_{m\times n}=U_{m \times n}\Sigma _{m\times n}V_{n\times n}^{T}\approx U_{m\times k}\Sigma _{k\times k}V_{k\times n}^{T}$
其中k要比n小很多，也就是一个大的矩阵A可以用三个小的矩阵Um×k,Σk×k,VTk×n来表示。如下图所示，现在我们的矩阵A只需要灰色的部分的三个小矩阵就可以近似描述了。
由于这个重要的性质，SVD可以用于PCA降维，来做数据压缩和去噪。也可以用于推荐算法，将用户和喜好对应的矩阵做特征分解，进而得到隐含的用户需求来做推荐。同时也可以用于NLP中的算法，比如潜在语义索引（LSI）。下面我们就对SVD用于PCA降维做一个介绍。
5. SVD用于PCA
在主成分分析（PCA）原理总结中，我们讲到要用PCA降维，需要找到样本协方差矩阵XTX的最大的d个特征向量，然后用这最大的d个特征向量张成的矩阵来做低维投影降维。可以看出，在这个过程中需要先求出协方差矩阵XTX，当样本数多样本特征数也多的时候，这个计算量是很大的。
注意到我们的SVD也可以得到协方差矩阵XTX最大的d个特征向量张成的矩阵，但是SVD有个好处，有一些SVD的实现算法可以不求先求出协方差矩阵XTX，也能求出我们的右奇异矩阵V。也就是说，我们的PCA算法可以不用做特征分解，而是做SVD来完成。这个方法在样本量很大的时候很有效。实际上，scikit-learn的PCA算法的背后真正的实现就是用的SVD，而不是我们我们认为的暴力特征分解。
另一方面，注意到PCA仅仅使用了我们SVD的右奇异矩阵，没有使用左奇异矩阵，那么左奇异矩阵有什么用呢？
假设我们的样本是m×n的矩阵X，如果我们通过SVD找到了矩阵XXT最大的d个特征向量张成的m×d维矩阵U，则我们如果进行如下处理：
$X_{d\times n}^{'}=U_{d\times n}^TX_{m\times m}$
可以得到一个d×n的矩阵X‘,这个矩阵和我们原来的m×n维样本矩阵X相比，行数从m减到了d，可见对行数进行了压缩。也就是说，左奇异矩阵可以用于行数的压缩。相对的，右奇异矩阵可以用于列数即特征维度的压缩，也就是我们的PCA降维。
6. SVD小结
SVD作为一个很基本的算法，在很多机器学习算法中都有它的身影，特别是在现在的大数据时代，由于SVD可以实现并行化，因此更是大展身手。SVD的原理不难，只要有基本的线性代数知识就可以理解，实现也很简单因此值得仔细的研究。当然，SVD的缺点是分解出的矩阵解释性往往不强，有点黑盒子的味道，不过这不影响它的使用。
