算法基础①递推与递归--指数型枚举

递归和递推

递归

递归算法在计算机系统中用栈帮助实现，一般常见的算法有深度优先遍历（DFS），可以解决的问题有迷宫问题是否连通的问题，递推会对应一个递归搜索树，递归搜索树可以帮助我们更好的理解递归的流程，递归要注意的有是否可以进行剪枝，在迷宫问题中，也要考虑是否要保存原有的迷宫。

入门例题

递归实现指数型枚举

从 1∼n 这 n 个整数中随机选取任意多个，输出所有可能的选择方案。

输入格式
输入一个整数 n。

输出格式
每行输出一种方案。

同一行内的数必须升序排列，相邻两个数用恰好 1 个空格隔开。

对于没有选任何数的方案，输出空行。

本题有自定义校验器（SPJ），各行（不同方案）之间的顺序任意。

数据范围
1≤n≤15
输入样例：
3
输出样例：

3
2
2 3
1
1 3
1 2
1 2 3

题解：

对于指数型枚举一个数只有选与不选的区分，所以我们从第一个位置，枚举到第n个位置，在第i个位置上，i这个数只有选与不选的区别，选的话我们将st[i]记录为i；不选记录为-1；一直到u>n时枚举了所有的位置，此时输出即可，要注意的是在输出完后要记得return掉

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;

const int N=20;
int n;
int st[N];
void dfs(int u){
    if(u>n){
        for(int i=1;i<=n;i++){
            if(st[i]==1) cout<<i<<" ";
        }
        cout<<endl;
        return ;
    }
    
    st[u]=1;
    dfs(u+1);
    
    st[u]=-1;
    dfs(u+1);
}
int main(){
    cin>>n;
    dfs(1);
    return 0;
}

递归实现排列型枚举

把 1∼n 这 n 个整数排成一行后随机打乱顺序，输出所有可能的次序。

输入格式
一个整数 n。

输出格式
按照从小到大的顺序输出所有方案，每行 1 个。

首先，同一行相邻两个数用一个空格隔开。

其次，对于两个不同的行，对应下标的数一一比较，字典序较小的排在前面。

数据范围
1≤n≤9
输入样例：
3
输出样例：
1 2 3
1 3 2
2 1 3
2 3 1
3 1 2
3 2 1

题解

在排列型枚举中，我们有n个位置，在每个位置上分别枚举这个位置可以放那个数，所以我们有一个path数组来记录排列的方案，使用st的bool数组来判断这个数是否选过。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;

const int N=15;
int n;
bool st[N];
int path[N];
void dfs(int u){
    if(u>n){//所有位置枚举完成
        for(int i=1;i<=n;i++){
            cout<<path[i]<<" ";
        }
        cout<<endl;
        return ;
    }
    
    for(int i=1;i<=n;i++){//在第u个位置上枚举所有方案，这个位置上可以放置所有没有被用过的数字。
        if(!st[i]){
            path[u]=i;
            st[i]=true;//表示这个数被用过了
            dfs(u+1);
            st[i]=false;//还原状态，保证回溯时下一层递归一致。
        }
    }
}
int main(){
    cin>>n;
    dfs(1);
    
    return 0;
}