方格迷宫

方格迷宫

给定一个 $n$ 行 $m$ 列的方格矩阵。

行从上到下依次编号为 $1 \sim n$，列从左到右依次编号为 $1 \sim m$。

第 $i$ 行第 $j$ 列的方格表示为 $(i,j)$。

矩阵中的方格要么是空地（用 . 表示），要么是陷阱（用 # 表示）。

初始时，你位于方格 $(x_1,y_1)$，你需要前往方格 $(x_2,y_2)$。

每次移动，你可以任选上、下、左、右四个方向之一，并沿该方向移动 $1 \sim k$ 步。

从一个方格移动至相邻方格视为一步。

但是，你要保证在你的移动过程中不能走出矩阵，也不能进入陷阱方格。

请你计算从方格 $(x_1,y_1)$ 移动至方格 $(x_2,y_2)$，所需要的最少移动次数。

保证方格 $(x_1,y_1)$ 和方格 $(x_2,y_2)$ 都是空地。

方格 $(x_1,y_1)$ 和方格 $(x_2,y_2)$ 可能是同一个方格。

注意：注意区分本题中移动次数与移动步数的区别。

输入格式

第一行包含三个整数 $n,m,k$。

接下来 $n$ 行，每行包含 $m$ 个字符，其中第 $i$ 行第 $j$ 个字符，要么是 .，表示方格 $(i,j)$ 是空地；要么是 #，表示方格 $(i,j)$ 是陷阱。

最后一行包含四个整数 $x_1,y_1,x_2,y_2$。

输出格式

一个整数，表示所需要的最少移动次数。

如果无法从方格 $(x_1,y_1)$ 移动至方格 $(x_2,y_2)$，则输出 $-1$。

数据范围

前 $6$ 个测试点满足 $1 \leq n,m \leq 10$。
所有测试点满足 $1 \leq n,m,k \leq 1000$，$1 \leq x_1,x_2 \leq n$，$1 \leq y_1,y_2 \leq m$。

输入样例1：

3 4 4
....
###.
....
1 1 3 1

输出样例1：

3

输入样例2：

3 4 1
....
###.
....
1 1 3 1

输出样例2：

8

输入样例3：

2 2 1
.#
#.
1 1 2 2

输出样例3：

-1

 

解题思路

　　很容易想到$\text{bfs}$，然后在枚举$4$个方向时再枚举这个方向要走的长度，因此这样做的时间复杂度为$O(nmk)$。这题有个比较巧妙的剪枝，假设当前位置是$(x,y)$，到该位置的距离是$d_{x,y}$，在同一个方向上枚举要走的长度，当枚举到位置$(x + dx, y + dy)$且有$d_{(x + dx, y + dy)} < d_{x,y} + 1$，那么之后的格子可以用$(x + dx, y + dy)$这个位置来更新，因为$d_{(x + dx, y + dy)} < d_{x,y} + 1$，因此有$d_{(x + dx, y + dy)} + 1 \leq d_{x,y} + 1$，因此用$(x + dx, y + dy)$来更新同一个方向之后的格子最小距离不会变大。所以在枚举的过程中发现$d_{(x + dx, y + dy)} < d_{x,y} + 1$直接$\text{break}$就好了。

　　加上这个剪枝后时间复杂度就变成了$O(nm)$。可以证明在同一个方向上每个格子最多会被枚举到$2$次（一次是第一次枚举到该格子并更新距离，另外一次是从距离更大的格子枚举到并$\text{break}$），因此$4$个方向所有格子一共最多被枚举$8 \cdot nm$次。

　　假设距离为$d$的格子已经沿着一个方向把一些格子更新成了$d+1$，此时再从队列中弹出一个格子（下图红色格子），根据$\text{bfs}$的性质这个格子的距离一定$\geq d$，因此当这个格子枚举到距离为$d$的格子或者已经被更新为$d+1$的格子时就会$\text{break}$掉。

　　其中上图右边的红色格子更具体来说应该是$d + 1$。首先不可能是$d$，否则下面距离为$d$的白色格子走到这个红色格子就会$\text{break}$掉，就不会更新到上面那些距离为$d+1$的格子了。而红色格子又是距离为$d$的白色格子上面的格子，因此就会被更新为$d+1$，所以红色格子的距离应该就是$d+1$。

　　AC代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef pair<int, int> PII;

const int N = 1010;

char g[N][N];
int dist[N][N];
PII q[N * N];
int dx[4] = {-1, 0, 1, 0}, dy[4] = {0, 1, 0, -1};

int main() {
    int n, m, k, x1, y1, x2, y2;
    scanf("%d %d %d", &n, &m, &k);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        scanf("%s", g + i);
    }
    scanf("%d %d %d %d", &x1, &y1, &x2, &y2);
    x1--, y1--, x2--, y2--;
    memset(dist, 0x3f, sizeof(dist));
    dist[x1][y1] = 0;
    int hh = 0, tt = -1;
    q[++tt] = {x1, y1};
    while (hh <= tt) {
        PII t = q[hh++];
        for (int i = 0; i < 4; i++) {
            for (int j = 1; j <= k; j++) {
                int x = t.first + dx[i] * j, y = t.second + dy[i] * j;
                if (x < 0 || x >= n || y < 0 || y >= m) break;
                if (g[x][y] == '#') break;
                if (dist[x][y] < dist[t.first][t.second] + 1) break;
                if (dist[x][y] > dist[t.first][t.second] + 1) {
                    dist[x][y] = dist[t.first][t.second] + 1;
                    q[++tt] = {x, y};
                }
            }
        }
    }
    printf("%d", dist[x2][y2] == 0x3f3f3f3f ? -1 : dist[x2][y2]);
    
    return 0;
}

 

参考资料

　　AcWing 4943. 方格迷宫（第二届ACC(AcWing Cup)全国联赛）：https://www.acwing.com/video/4683/