大臣的旅费

大臣的旅费

很久以前，$T$ 王国空前繁荣。

为了更好地管理国家，王国修建了大量的快速路，用于连接首都和王国内的各大城市。

为节省经费，$T$ 国的大臣们经过思考，制定了一套优秀的修建方案，使得任何一个大城市都能从首都直接或者通过其他大城市间接到达。

同时，如果不重复经过大城市，从首都到达每个大城市的方案都是唯一的。

J是T国重要大臣，他巡查于各大城市之间，体察民情。

所以，从一个城市马不停蹄地到另一个城市成了 $J$ 最常做的事情。

他有一个钱袋，用于存放往来城市间的路费。

聪明的J发现，如果不在某个城市停下来修整，在连续行进过程中，他所花的路费与他已走过的距离有关，在走第 $x$ 千米到第 $x+1$ 千米这一千米中（$x$是整数），他花费的路费是 $x+10$ 这么多。也就是说走 $1$ 千米花费 $11$，走 $2$ 千米要花费 $23$。

$J$ 大臣想知道：他从某一个城市出发，中间不休息，到达另一个城市，所有可能花费的路费中最多是多少呢？

输入格式

输入的第一行包含一个整数 $n$，表示包括首都在内的T王国的城市数。

城市从 $1$ 开始依次编号，$1$ 号城市为首都。

接下来 $n−1$ 行，描述 $T$ 国的高速路（$T$国的高速路一定是 $n−1$ 条）。

每行三个整数 $P_{i},Q_{i},D_{i}$，表示城市 $P_{i}$ 和城市 $Q_{i}$ 之间有一条双向高速路，长度为 $D_{i}$ 千米。

输出格式

输出一个整数，表示大臣 $J$ 最多花费的路费是多少。

数据范围

$1 \leq n \leq 10^{5}$,
$1 \leq P_{i},Q_{i} \leq n$,
$1 \leq D_{i} \leq 1000$

输入样例：

5 
1  2  2 
1  3  1 
2  4  5 
2  5  4 

输出样例：

135

 

解题思路

两遍dfs解法

　　根据题意，这是一个无环连通图，也就是一棵树。

　　题目是问我们树上的最长路径是多少，也就是问我们树的直径。

　　树的直径：一棵树上长度最长的路径。

　　求树的直径的其中一种方法是用dfs：

1. 任取一点$x$，求剩余的点到$x$的距离，并在这些点中找到一个到$x$距离最大的点$y$。
2. 求所有点到$y$的距离，到$y$最大的距离就是树的直径。

　　我们从第一步找到一个距离$x$最远的点$y$一定是直径上的一个端点，因此根据第二步找到的距离$y$最远的点所构成的路径就是一条树的直径。下面证明这种做法是正确的。

　　用反证法，假设$y$不是任何一条直径的端点。

　　情况$1$，假设存在一条直径，与$x$到$y$的路径有交点：

　　假设$v$，$w$是直径的两个端点，与$x$到$y$的路径上有交点$u$。

　　因为$y$是距离$x$最远的一个点之一，因此有$d_{xuy} \geq d_{xuv}$，有公共的一段$d_{xu}$，因此有$d_{uy} \geq d_{uv}$。加上同一段$d_{uw}$，因此有$d_{yuw} \geq d_{vuw}$。又因为$d_{vw}$是一条直径，因此$d_{yw}$也是一条直径，即$y$是直径的端点，与假设矛盾。

　　情况$2$，假设存在一条直径，与$x$到$y$的路径没有交点：

　　假设$v$，$w$是直径的两个端点，由于是一颗树（连通），因此在$x$到$y$的路径中必然会有一个节点$a$（$a$也可能是$x$或$y$），与$v$到$w$的路径中的一个节点$b$（同理$b$也可能是$v$或$w$）是可以相互到达的（即连通）。

　　因为$y$是距离$x$最远的一个点之一，因此有$d_{xay} \geq d_{xabv}$，有公共的一段$d_{xa}$，因此有$d_{ay} \geq d_{abv}$。由于每一条路径的长度大于$0$，$d_{ab} > 0$，因此有$d_{ay} > d_{bv}$，$d_{yab} > d_{bv}$。加上同一段$d_{bw}$，因此有$d_{yabw} > d_{vw}$。又因为$d_{vw}$是一条直径，而$d_{yabw} > d_{vw}$，矛盾。

　　因此正确性得到证明，$y$必然是某条直径的端点。

　　AC代码如下：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N = 1e5 + 10, M = N << 1;

int head[N], e[M], wts[M], ne[M], idx;
int dist[N];

void add(int v, int w, int wt) {
    e[idx] = w, wts[idx] = wt, ne[idx] = head[v], head[v] = idx++;
}

void dfs(int src, int pre, int d) {
    dist[src] = d;
    for (int i = head[src]; i != -1; i = ne[i]) {
        if (e[i] != pre) {
            dfs(e[i], src, d + wts[i]);
        }
    }
}

int main() {
    memset(head, -1, sizeof(head));
    
    int n;
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
        int v, w, wt;
        scanf("%d %d %d", &v, &w, &wt);
        add(v, w, wt), add(w, v, wt);
    }
    
    dfs(1, 0, 0);   // 任取一点1，求其余点到1的距离
    
    // 找到距离1最远的点maxv
    int maxv = 1;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        if (dist[i] > dist[maxv]) maxv = i;
    }
    
    dfs(maxv, 0, 0);    // 求所有点到maxv的距离
    
    // 找到离maxv最远的距离，这个距离就是树的直径
    int maxd = -1;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        maxd = max(maxd, dist[i]);
    }
    printf("%lld", 10 * maxd + maxd * (maxd + 1ll) / 2);
    
    return 0;
}

 

树形dp解法

　　树形dp解法的原理看考这篇博文：旅游规划：https://www.cnblogs.com/onlyblues/p/15998496.html

　　AC代码如下：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N = 1e5 + 10, M = N << 1;

int head[N], e[M], wts[M], ne[M], idx;
int d1[N], d2[N];   // d1[i]表示以i为最高点的最长路径，d2[i]表示以i为最高点的次长路径
int maxd;   // 树的直径

void add(int v, int w, int wt) {
    e[idx] = w, wts[idx] = wt, ne[idx] = head[v], head[v] = idx++;
}

void dfs(int src, int pre) {
    for (int i = head[src]; i != -1; i = ne[i]) {
        if (e[i] != pre) {
            dfs(e[i], src); // 求子节点e[i]的最长路径
            
            // 更新最大值和次大值
            int d = d1[e[i]] + wts[i];
            if (d > d1[src]) {
                d2[src] = d1[src];
                d1[src] = d;
            }
            else if (d > d2[src]) {
                d2[src] = d;
            }
        }
    }
    
    maxd = max(maxd, d1[src] + d2[src]);
}

int main() {
    memset(head, -1, sizeof(head));
    
    int n;
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
        int v, w, wt;
        scanf("%d %d %d", &v, &w, &wt);
        add(v, w, wt), add(w, v, wt);
    }
    
    dfs(1, -1);
    printf("%lld", 10 * maxd + maxd * (maxd + 1ll) / 2);
    
    return 0;
}

 

参考资料

　　AcWing 1207. 大臣的旅费（蓝桥杯C++ AB组辅导课）：https://www.acwing.com/video/710/