摘要：前言 最近在做图上随机游走的期望题时，发现不同的状态定义会得到不同结果。其中一个状态的定义与转移看上去都蛮对的，但实际是错误的，我看了好久都看不出来，最后手推才发现其中的问题，原因是混淆了条件期望与绝对期望。这次的推导过程让我受益匪浅，故将其记录下来。 案例引入 先引入一个简单的例子，给定一个 $4 阅读全文

摘要：前言 由于解决这个问题的做法完全是我个人主观完成的，因此可能会存在很严重的错误，如果发现任何的问题与错误请在评论区进行提出指正。还有这个问题在数论中应该有个专业的名词，如果有人知道的话也麻烦在评论区留言告知。 正文 本文尝试解决的问题为：对于 $\forall x \in \mathbb{Z}$ 多 阅读全文

摘要：结论 如果$p, q$均是正整数且互质，那么$px + qy$$\left( {x \geq 0, y \geq 0} \right)$不能表示的最大的数为$pq - p - q = \left( {p-1} \right) \left( {q-1} \right) - 1$。 证明 首先证明$pq 阅读全文

摘要：突然想到可以从集合的角度来推导组合数的递推公式，特意记下来。 $$C_{n}^{m} = C_{n - 1}^{m - 1} + C_{n - 1}^{m}$$ 可以把$C_{n}^{m}$理解为从$n$个元素中选取$m$个元素所组成的集合的数量，也就是说这些集合中的元素个数恰好都为$m$个，并且这 阅读全文

摘要：设$x_{1},~x_{2},~\ldots,~x_{n}$为非负实数，其中有： 调和平均数$$H_{n} = \frac{n}{\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} + \cdots + \frac{1}{x_{n}}} = \frac{n}{\sum\limits_ 阅读全文

摘要：卢卡斯定理 对于非负整数$a$，$b$和质数$p$，有$$C_{a}^{b} \equiv C_{a~mod~p}^{b~mod~p} \cdot C_{\lfloor{a/p}\rfloor}^{\lfloor{b/p}\rfloor}~~\left( {mod~p} \right)$$ 证明1 阅读全文