【CodeForces】925 C.Big Secret 异或

【题目】C.Big Secret
【题意】给定数组b,求重排列b数组使其前缀异或和数组a单调递增。\(n \leq 10^5,1 \leq b_i \leq 2^{60}\)
【算法】异或
为了拆位分析,先考虑一个简单的问题:已知一个合法b数组和一个数字"1",求数字”1“是否能插入?
容易发现,”1“插入的位置必须满足前面的数字中有偶数个奇数(可以是0个),因为这样前缀和才能比上一位多1,满足要求。

进一步的,已知一个有y个奇数的合法b数组和x个数字”1“,求数字”1“能否全部插入?
利用上面的结论,容易发现当x<=y+1时,只需要在最前面放一个”1“,然后每隔一个奇数放一个”1“就能满足要求(”1“本身也是奇数)。
而当x>y+1时,无解。

上面这个结论可以扩展,对于第k位,已知有y个第k位为0的数字的合法b数组,和x个第k位为1的在\([1,2^{k+1}-1]\)范围内的数字,求数字能否全部插入?
为什么这样扩展是正确的?一个数字能否插入其实只取决于它的最高的1。因为如果最高位异或变成0,无论低位如何都不合法。如果最高为异或变成1,无论低位如何都合法。

现在考虑做法,如何在插入时保证不跳过每次前缀和为偶数的情况?预处理v[i]表示最高的”1“在第i位的数字列表,从前往后依次确定答案,从低位到高位枚举合法的位数并且数字列表不空就插入,累加前缀和。从低到高枚举就能保证插入的数字的低位一定都是不能插入的,免得低位的”1“使得跳过了前缀和为偶数的情况。

复杂度\(O(60*n)\)
本题的关键在于从将数字插入已有的合法数列的角度考虑。

#include<cstdio>
#include<vector>
#define ll long long
using namespace std;
vector<ll>v[70];
int n;ll ans[100010],cur=0;
int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        ll u;scanf("%lld",&u);
        for(int j=60;j>=0;j--)if((u>>j)&1){v[j].push_back(u);break;}
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        bool ok=0;
        for(int j=0;j<=60;j++)if(!(cur&(1ll<<j))&&!v[j].empty()){
            cur^=(ans[i]=v[j].back());v[j].pop_back();ok=1;break;
        }
        if(!ok){puts("No");return 0;}
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)printf("%lld ",ans[i]);
    return 0;
}
posted @ 2018-05-18 21:58  ONION_CYC  阅读(...)  评论(... 编辑 收藏