【BZOJ】2115: [Wc2011] Xor

【题意】给定n个点m条边的无向连通图,每条边有非负边权wi,求从1到n的路径,使得路径上的边权异或和最大。n,m<=10^5,wi<=10^18。
路径可以重复经过边和点,图有重边
【算法】线性基+无向图DFS找环
【题解】参考ljh2000の博客
答案由1~n的任意一条通路和若干个环组成。

  • 环:因为走到某个点后返回没有价值,所以必须是环才能有贡献。一个环的权值可以通过从1到达这个环遍历一圈后返回来得到。
  • 任意通路:如果要更换一条1到n的路径,那么和原路径会形成一个环,相当于异或这个环。

这样之后就明确了需要找到一条1~n的通路和所有环的异或值,将这些异或值构造线性基后从大到小贪心贡献答案即可。
现在需要求无向连通图的所有环,由于有重边为了方便每条边也算一个环,可证总数不超过2m个。DFS全图,标记vis不回溯,访问到标记过的点就算一个环,这样可以不重不漏地统计到全图所有的环。
复杂度O(m log wi)。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define int long long
using namespace std;
const int maxn=100010;
int n,m,d[maxn],first[maxn],tot,cir[maxn*2],cnt,b[maxn];
bool vis[maxn];
struct edge{int v,w,from;}e[maxn*2];
void insert(int u,int v,int w){tot++;e[tot].v=v;e[tot].w=w;e[tot].from=first[u];first[u]=tot;}
void dfs(int x){//you chong bian,bu neng ji "fa".
    vis[x]=1;
    for(int i=first[x];i;i=e[i].from){
        if(!vis[e[i].v]){d[e[i].v]=d[x]^e[i].w;dfs(e[i].v);}
        else cir[++cnt]=d[x]^d[e[i].v]^e[i].w;
    }
}
#undef int
int main(){
#define int long long
    scanf("%lld%lld",&n,&m);
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int u,v,w;
        scanf("%lld%lld%lld",&u,&v,&w);
        insert(u,v,w);insert(v,u,w);
    }
    dfs(1);
    int ans=d[n];
    for(int i=1;i<=cnt;i++){
        for(int j=62;j>=0;j--)if(cir[i]>>j){
            if(b[j])cir[i]^=b[j];else{b[j]=cir[i];break;}
        }
    }
    for(int i=62;i>=0;i--)if((ans^b[i])>ans)ans^=b[i];
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}

有另一道类似的题目:
【CodeForces】724G Xor-matic Number of the Graph
【题意】给定一个边权非负的无向图,定义三元组 (u, v, s) 为有趣的,当且仅当u、v(1 ≤ u < v ≤ n)间存在一条路径异或和为s,允许经过重复点、重复边。求所有有趣的三元组的s之和。
【题解】构造DFS树,将所有环权加入线性基。求和问题,依次考虑每一位的贡献。假设当前考虑点对(x,y)的第z位。
如果第z位相同,那么需要选择的环组合第z位为1。如果线性基中所有数字第z位都为0则无贡献,否则任选一个第z位为1的数字,其余数字任意组合后根据第z位的01来确定是否异或这个数字。设线性基的数字个数为k,则有\(2^{k-1}\)种方案。
要求为0的话,如果全0任意贡献,否则选择一个1,其余任意。

posted @ 2018-05-04 18:36  ONION_CYC  阅读(...)  评论(... 编辑 收藏