BZOJ2115 [Wc2011] Xor
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Description
Input
第一行包含两个整数N和 M， 表示该无向图中点的数目与边的数目。 接下来M 行描述 M 条边，每行三个整数Si，Ti ，Di，表示 Si 与Ti之间存在 一条权值为 Di的无向边。 图中可能有重边或自环。
Output
仅包含一个整数，表示最大的XOR和（十进制结果）,注意输出后加换行回车。
Sample Input
1 2 2
1 3 2
2 4 1
2 5 1
4 5 3
5 3 4
4 3 2
Sample Output
HINT
正解：dfs+线性基
解题报告：
继续刷线性基...
这道题要求从1到n的最大xor和路径，存在重边，允许经过重复点、重复边。那么在图上作图尝试之后就会发现，路径一定是由许多的环和一条从1到n的路径组成。容易发现，来回走是没有任何意义的，因为来回走意味着抵消。考虑这道题求得是路径xor和最大，所以必然我们要想办法处理环的情况。我的做法是任意地先找出一条从1到n的路径，把这条路径上的xor和作为ans初值（先不管为什么可行），然后我们的任务就变成了求若干个环与这个ans初值所能组合成的xor最大值。显然，我们需要预处理出图上所有的环，并处理出所有环的环上xor值，这当然是dfs寻找，到n的路径的时候顺便求一下就可以了。
当我们得到了若干个环的xor值之后，因为是要求xor最大值，我们就可以构出这所有xor值的线性基。构出之后，再用ans在线性基上取max就可以了。
现在我们来讨论上述做法的可行性。
第一种情况：我们对最终答案产生贡献的某个环离1到n的主路径很远，这样的话，因为至少可以保证1可以到达这个环，那么我们可以走到这个环之后绕环一周之后原路返回，这样从1走到环的路上这一段被重复经过所以无效，但是环上的xor值被我们得到了，所以我们并不关心这个环和主路径的关系，我们只关心环的权值。
第二种情况：我们任意选取的到n的路径是否能保证最优性。假设存在一条更优的路径从1到n，那么这条路径与我们原来的路径构成了一个环，也就会被纳入线性基中，也会被计算贡献，假如这个环会被经过，那么最后的情况相当于是走了两遍原来选取的路径，抵消之后走了一次这个最优路径，所以我们无论选取的是哪条路径作为ans初值，都可以通过与更优情况构成环，然后得到一样的结果。这一证明可以拓展到路径上的任意点的路径选取。
这样我们就可以完美解决了。我第一次WA了一发，因为我没有考虑到ans初值不为0，在线性基上取到xor的max的时候，不能单纯以ans这一位是否为0来决定是否异或上基的这一位，必须要看异或之后取一个max做一个判断才行。
1 //It is made by jump~ 2 #include <iostream> 3 #include <cstdlib> 4 #include <cstring> 5 #include <cstdio> 6 #include <cmath> 7 #include <algorithm> 8 #include <ctime> 9 #include <vector> 10 #include <queue> 11 #include <map> 12 #include <set> 13 using namespace std; 14 typedef long long LL; 15 const int MAXN = 50011; 16 const int MAXM = 200011; 17 int n,m,ecnt; 18 int first[MAXN],next[MAXM],to[MAXM]; 19 LL w[MAXM],dx[MAXN]; 20 bool vis[MAXN]; 21 int cnt; 22 LL circle[MAXM],ans;//经过每个环可获得的的权值 23 LL p[63]; 24 25 inline int getint(){int w=0,q=0;char c=getchar();while((c<'0'||c>'9')&&c!='-')c=getchar();if(c=='-')q=1,c=getchar();while (c>='0' && c<='9') w=w*10+c-'0', c=getchar(); return q ? -w : w;} 26 inline LL getlong(){LL w=0,q=0;char c=getchar();while((c<'0' || c>'9')&&c!='-')c=getchar();if(c=='-') q=1,c=getchar();while (c>='0' && c<='9') w=w*10+c-'0', c=getchar(); return q ? -w : w;} 27 28 inline void dfs(int x){ 29 vis[x]=1; 30 for(int i=first[x];i;i=next[i]) { 31 int v=to[i]; 32 if(!vis[v]) dx[v]=dx[x]^w[i],dfs(v); 33 else circle[++cnt]=dx[v]^dx[x]^w[i]; 34 } 35 } 36 37 inline void work(){ 38 n=getint(); m=getint(); int x,y; LL z; 39 for(int i=1;i<=m;i++) { 40 x=getint(); y=getint(); z=getlong(); 41 next[++ecnt]=first[x]; first[x]=ecnt; to[ecnt]=y; w[ecnt]=z; 42 next[++ecnt]=first[y]; first[y]=ecnt; to[ecnt]=x; w[ecnt]=z; 43 } 44 dfs(1); 45 ans=dx[n];//任取一条从1到n的路径，并得到其xor和 46 for(int i=1;i<=cnt;i++)//构造线性基 47 for(int j=62;j>=0;j--) { 48 if(!(circle[i]>>j)) continue; 49 if(!p[j]) { p[j]=circle[i]; break; } 50 circle[i]^=p[j]; 51 } 52 //for(int i=62;i>=0;i--) if(!(ans>>i)) ans^=p[i]; 53 //ans有初值，不能直接根据这一位是否为0来判断是否更大，max更为稳妥 54 for(int i=62;i>=0;i--) if((ans^p[i])>ans) ans=ans^p[i];//从线性基中得到最大值 55 printf("%lld",ans); 56 } 57 58 int main() 59 { 60 work(); 61 return 0; 62 }
