【信号处理】系统的性质

线性系统

同时满足齐次性和叠加性的系统称为线性系统。例如，对于$SISO$系统$f$，有：

$$x(t)\stackrel{f}{⟶}y(t)$$
齐次性：
$$ax(t)\stackrel{f}{⟶}ay(t)a\in \mathbb{R}$$
叠加性：
$$\begin{array}{rl}{x}_1(t)& \stackrel{f}{⟶}{y}_1(t)\\ x_2(t)& \stackrel{f}{⟶}{y}_2(t)\end{array}\}⟶x_1(t)+x_2(t)\stackrel{f}{⟶}{y}_1(t)+y_2(t)$$
下面列举几个例子加以说明：

1. $$f:y(t)=3x(t)$$
   齐次性：
   $$x(t)\stackrel{f}{⟶}y(t)$$
   $$ax(t)\stackrel{f}{⟶}3ax(t)=ay(t)$$满足齐次性；
   叠加性：
   对于
   $$x_1(t)\stackrel{f}{⟶}{y}_1(t)$$
   $$x_2(t)\stackrel{f}{⟶}{y}_2(t)$$
   有：
   $$x_1(t)+x_2(t)\stackrel{f}{⟶}3(x_1(t)+x_2(t))=3x_1(t)+3x_2(t)=y_1(t)+y_2(t)$$
   满足叠加性；
   故系统具有线性性。
2. $$f:y(t)=tx(t)$$
   齐次性：
   $$x(t)\stackrel{f}{⟶}y(t)$$
   $$ax(t)\stackrel{f}{⟶}t\cdot ax(t)=atx(t)=ay(t)$$满足齐次性；
   叠加性：
   对于
   $$x_1(t)\stackrel{f}{⟶}{y}_1(t)$$
   $$x_2(t)\stackrel{f}{⟶}{y}_2(t)$$
   有：
   $$x_1(t)+x_2(t)\stackrel{f}{⟶}t(x_1(t)+x_2(t))=t{x}_1(t)+t{x}_2(t)=y_1(t)+y_2(t)$$
   满足叠加性；
   故系统具有线性性。
3. $$f:y(t)={\int }_{-\infty }^{t}x(\tau )d\tau$$
   对于
   $$x_1(t)\stackrel{f}{⟶}{y}_1(t)$$
   $$x_2(t)\stackrel{f}{⟶}{y}_2(t)$$
   有：
   $$a_1{x}_1(t)+a_2{x}_2(t)\stackrel{f}{⟶}{\int }_{-\infty }^t(a_1{x}_1(\tau )+a_2{x}_2(\tau ))d\tau =a_1{\int }_{-\infty }^t{x}_1(\tau )d\tau +a_2{\int }_{-\infty }^t{x}_2(\tau )d\tau =a_1{y}_1(t)+a_2{y}_2(t)$$
   故系统具有线性性。
4. $$f:y(t)=x(t)+1$$
   对于
   $$x_1(t)\stackrel{f}{⟶}{y}_1(t)x_2(t)\stackrel{f}{⟶}{y}_2(t)$$
   有：
   $$a_1{x}_1(t)+a_2{x}_2(t)\stackrel{f}{⟶}(a_1{x}_1(t)+a_2{x}_2(t))+1$$
   $$a_1{y}_1(t)+a_2{y}_2(t)=a_1{x}_1(t)+1+a_2{x}_2(t)+1=a_1{x}_1(t)+a_2{x}_2(t)+2$$
   故系统非线性。

由上，我们可以总结出线性系统简单判别方法：

只要是由输入$x(t)$及其时移变换$x(t-t_0)(t_0\in \mathbb{R})$的加权和，权值可以是常数或者时间$t$的函数（非$x(t)$），如$x(t)$、$3tx(t)+5x(t)$、$e^{t}x(t)$等，都是线性系统。

时变/时不变系统

系统参数不随时间变化的系统称为时不变系统，反之则为时变系统。即：

对于系统$x(t)\stackrel{f}{⟶}y(t)$，有：
$$\forall t_0\in \mathbb{R},x(t-t_0)\stackrel{f}{⟶}y(t-t_0)$$
则系统为时不变系统，反之为时变系统。
这里同样举几个例子加以说明：

1. $$f:y(t)=x(t-1)$$
   $\forall t\in \mathbb{R}$，令$g(t)=x(t-t_0)$，有：
   $$g(t)\stackrel{f}{⟶}g(t-1)$$$$=x((t-1)-t_0)$$$$=x((t-t_0)-1)$$$$=y(t-t_0)$$
   故系统为时不变系统。
2. $$f:y(t)=x(2-t)$$
   $\forall t\in \mathbb{R}$，令$g(t)=x(t-t_0)$，有：
   $$g(t)\stackrel{f}{⟶}g(2-t)$$$$=x((2-t)-t_0)$$$$=x(2-t_0-t)$$
   $$y(t-t_0)=x(2-(t-t_0))$$$$=x(2+t_0-t)$$
   故系统为时变系统。
3. $$f:y(t)=e^{x(t+1)}$$
   $\forall t\in \mathbb{R}$，令$g(t)=x(t-t_0)$，有：
   $$g(t)\stackrel{f}{⟶}{e}^{g(t+1)}$$$$=e^{x(t+1)-t_0)}$$$$=e^{x((t-t_0)+1)}$$$$=y(t-t_0)$$
   故系统为时不变系统。
4. $$f:y(t)=x(2t)$$
   $\forall t\in \mathbb{R}$，令$g(t)=x(t-t_0)$，有：
   $$g(t)\stackrel{f}{⟶}g(2t)$$$$=x(2t-t_0)$$
   $$y(t-t_0)=x(2(t-t_0))$$$$=x(2t-2t_0)$$
   故系统为时变系统。
5. $$f:y(t)=tx(t)$$
   $\forall t\in \mathbb{R}$，令$g(t)=x(t-t_0)$，有：
   $$g(t)\stackrel{f}{⟶}tg(t)$$$$=tx(t-t_0)$$
   $$y(t-t_0)=(t-t_0)x(t-t_0)$$
   故系统为时变系统。

由上得出时不变系统判别方法：

对于系统$f$，当且仅当其自变量只有$x(t)$及其时移变换$x(t-t_0)$（而没有其他t的函数）时，系统为时不变系统，反之为时变系统。

因果系统

如果系统在任何时候输出只取决于现在和过去的输入，则该系统为因果系统，否则为非因果系统。即当一个系统的零状态响应在$t<0$时始终为0时，系统为因果系统。物理可实现的系统都是因果系统。
对于系统的因果性判断，可以通过举反例的方式否定系统的因果性例如：

1. $f:y(t)=x(t-1)$：因果系统。
2. $f:y(t)=x(t+1)$
   由于$y(0)=x(1)$，系统为非因果系统。
3. $f:y(t)=x(2t)$
   由于$y(1)=x(2)$，系统为非因果系统。
   由上可以总结出：

无论$t$取何值，若输出函数$y$的输入变量始终大于等于输入函数$x$的输入变量，则系统为因果系统。
例如上面的3个例子，有：

4. $t\ge t-1$恒成立，为因果系统
5. $t\ge t+1$不成立，为非因果系统
6. $t\ge 2t$不成立，为非因果系统

这里还需要说明的是关于积分器和微分器的因果性判断：

积分器

对于$y(t)={\int }_{-\infty }^{t}x(\tau )d\tau$，其$\tau \le t$恒成立，因此积分器是因果系统。

微分

对于$y(t)=\frac{dy(t)}{dt}={\lim }_{\Delta t\to 0}\frac{x(t+\Delta t)-x(t)}{\Delta t}$，有$t+\Delta t>t$，因此微分器是非因果系统。

记忆/无记忆系统

一个系统的输出仅取决于该时刻的输入，则该系统为无记忆系统。即系统的$y(t)$值仅依赖于$x(t)$值，无记忆系统可以看作时不变系统的子集，故其判别方法为：

对于系统$f$，当且仅当其自变量只有$x(t)$时，系统为无记忆系统。

例如：

$y(t)=[x(t){]}^2+e^{x(t)}$是无记忆系统；

$y(t)=[x(t^2)]+e^{x(t)}$是记忆系统。

稳定系统

系统的稳定性是一个重要的特性，稳定系统在有界输入的条件下输出也是有界的。即：
若对于区间$t\in [t_0,t_1]$系统的激励：
$$|x(t)|<M_f(M_f\in \mathbb{R})$$
有其零状态响应：
$$y_{zs}(t)<M_y(M_y\in \mathbb{R})$$
则系统具有稳定性。
例如：

1. $$f:y(t)=e^x(t)$$
   若对于$\forall t\in [t_0,t_1]$，$|x(t)|<M$，则有
   $$|y(t)|=|e^{x(t}|\le e^{|x(t)|}\le e^M$$
   故系统具有稳定性。
2. $$y(t)=\frac{dx(t)}{dt}$$
   若取$x(t)=u(t)$，则有$y(0)=\infty$，系统不稳定。
3. $$f:y(t)={\int }_{-\infty }^{t}x(\tau )d\tau$$
   若取$x(t)\equiv 1$，则$y(t)={\int }_{-\infty }^{t}d\tau =\infty$，系统不稳定。

可逆系统

系统在不同的激励下产生不同的响应，即输入$x(t)$能唯一写成$y(t)$函数的形式，那么，该系统被称为可逆系统。每个可逆系统都有一个对应的逆系统存在。
例如：

1. $$y(t)=x(t+1)$$
   系统可逆，其逆系统为：$x(t)=y(t-1)$
2. $$y(t)=[x(t){]}^2$$
   $x(t)=\pm \sqrt{y(t)}$，系统不可逆；
3. $$y(t)={\int }_{-\infty }^{t}x(\tau )d\tau$$
   $x(t)=\frac{dy(t)}{dt}$，系统可逆；
4. $$y(t)=\frac{dx(t)}{dt}$$
   $x(t)={\int }_{-\infty }^{t}y(\tau )d\tau +C(C\in \mathbb{R})$，系统不可逆。

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本文主要通过连续时间系统介绍系统的线性性、稳定性等性质，其概念和判定方法对于离散系统同样适用。