【信号处理】傅里叶变换

傅里叶变换是一种被普遍使用的工具，该方法建立起时域和频域的桥梁，为信号分析提供了另一种视角。本篇文章首先介绍了傅里叶级数的三角表示以及复指数表示，说明其复指数表示的含义，同时通过傅里叶级数导出傅里叶变换，并详细分析了傅里叶变换的意义。文章最后列举了傅里叶变换的常用性质以及常见信号的傅里叶变换，同时对周期信号的傅里叶变换作了简单的说明。

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傅里叶级数

傅里叶级数是高等数学中介绍的一种级数，周期信号可以通过傅里叶级数表示为正弦信号及其高频谐波信号的加权和，其存在的前提是满足迪利克雷（$Dirichlet$）条件，具体为：

1. 在一周期内，连续或只有有限个第一类间断点；
2. 在一周期内，极大值和极小值的数目应是有限个；
3. 在一周期内，信号是绝对可积的。

傅里叶级数表示为：
$$\begin{array}{rl}f(t)& =\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left[a_n\cos (n{\omega }_{1}t)+b_n\sin (n{\omega }_{1}t)\right]\\ a_0& =\frac{2}{T_1}{\int }_{T_1}f(t)dt\\ a_n& =\frac{2}{T_1}{\int }_{T_1}f(t)\cos (n{\omega }_{1}t)dt(n=1,2,3,\dots )\\ b_n& =\frac{2}{T_1}{\int }_{T_1}f(t)\sin (n{\omega }_{1}t)dt(n=1,2,3,\dots )\end{array}$$
通过辅助角公式可以得到余弦函数表示：
$$\begin{array}{rl}f(t)& =c_0+\sum _{n=1}^{\infty }{c}_n\cos \left(n{\omega }_{1}t+{\phi }_n\right)\\ c_0& =\frac{1}{T_1}{\int }_{T_1}f(t)dt\\ c_n& =\sqrt{a_n^2+b_n^2}(n=1,2,3,\dots )\\ a_n& =c_n\cos {\phi }_n\\ b_n& =c_n\sin {\phi }_n\\ {\phi }_n& =-\arctan \left(\frac{b_n}{a_n}\right)(n=1,2,3,\dots )\end{array}$$
通过欧拉公式可以表示为：
$$f(t)=a_0+\sum _{n=1}^{\infty }\left[\frac{a_n-j{b}_n}{2}{e}^{j{\omega }_{n}t}+\frac{a_n+j{b}_n}{2}{e}^{-j{\omega }_{n}t}\right]$$
令$F(n{\omega }_1)=\frac{a_n-j{b}_n}{2}$，则$F(-n{\omega }_1)=\frac{a_n+j{b}_n}{2}$，有：
$$f(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }F(n{\omega }_1)e^{jn{\omega }_{1}t}$$
把$F(n{\omega }_1)$简写为$F_n$，此时$-\infty <n<\infty$：

$$f(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{F}_n{e}^{jn{\omega }_{1}t}$$
$$F_n=\frac{1}{T_1}{\int }_{t_0}^{t_0+T_1}f(t)e^{-jn{\omega }_{1}t}dt$$

即为傅里叶级数的指数形式。
$$F_n=|F_n|e^{j{\phi }_n}$$
$F_n$可以表示为复数幅度谱（$|F_n|\sim n{\omega }_1$）和相位（${\phi }_n\sim n{\omega }_1$）谱，又：
$$F(n{\omega }_1)=\frac{a_n-j{b}_n}{2}=\frac{\cos {\phi }_n-j\sin {\phi }_n}{2}{c}_n=\frac{e^{-j{\phi }_n}}{2}{c}_n$$
$$F(-n{\omega }_1)=\frac{a_n+j{b}_n}{2}=\frac{\cos {\phi }_n+j\sin {\phi }_n}{2}{c}_n=\frac{e^{j{\phi }_n}}{2}{c}_n$$
有
$$F(n{\omega }_1)+F(-n{\omega }_1)=\frac{e^{-j{\phi }_n}+e^{j{\phi }_n}}{2}{c}_n=c_n=\frac{1}{2}|F(n{\omega }_1)|=\frac{1}{2}|F(-n{\omega }_1)|=\frac{1}{2}|F_n|$$
即$F_n$就是周期信号$f(t)$的频率谱表示。
值得关注的是，在描述频率谱$F_n$时，$\omega$出现了负频率，回溯到$F_n$的定义$\{\begin{array}{l}F(n{\omega }_1)=\frac{a_n-j{b}_n}{2}\\ F(-n{\omega }_1)=\frac{a_n+j{b}_n}{2}\end{array}$，也就是说$F_n$的负频率是引入$F_n$时欧拉公式的作用，这里我们发现$|F(n{\omega }_1)|=|F(-n{\omega }_1)|$，即有复指数表示下的幅度谱是关于纵轴对称的，相位谱在负半轴和正半轴取相反数。简单理解，就是在周期信号的预先表示的基础上，利用欧拉公式：
$$\cos (n{\omega }_{1}t)=\frac{1}{2}\left(e^{jn{\omega }_{1}t}+e^{-jn{\omega }_{1}t}\right)$$
把余弦信号拆分为两个等大反相的复指数信号，复指数信号的幅度为余弦信号幅度的一半。这样，我们就成功地把信号的分析引入到复数域内。

由周期信号的傅里叶级数导出傅里叶变换

对于傅里叶级数
$$f(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{F}_n{e}^{jn{\omega }_{1}t}$$
$$F_n=\frac{1}{T_1}{\int }_{t_0}^{t_0+T_1}f(t)e^{-jn{\omega }_{1}t}dt$$
我们了解到其指数形式频率谱$F_n$是离散的在（$\omega =n{\omega }_1$上有取值），$f(t)$是周期函数（以$T_1$为周期）。倘若我们把周期$T_1$放大为接近$\infty$，对应的${\omega }_1=\frac{2\pi }{T_1}$趋近于0，此时对应$\omega =n{\omega }_1$也由离散的取值接近连续，这样就可以把非周期函数看作周期为无限大的周期函数，从而实现对非周期函数的频率谱提取。那么可以有：
$$F_n=F(n{\omega }_1)=\frac{1}{T_1}{\int }_{t_0}^{t_0+T_1}f(t)e^{-jn{\omega }_{1}t}dt$$
$$F_n{T}_1={\int }_{t_0}^{t_0+T_1}f(t)e^{-jn{\omega }_{1}t}dt$$
令$T_1\to \infty$，则$\omega \to 0$，此时令：
$$F(\omega )=\underset{{\omega }_1\to 0}{\lim }F(n{\omega }_1)T_1(\omega =n{\omega }_1)$$
即
$$F(\omega )=\underset{T_1\to \infty }{\lim }{\int }_{-\frac{T_1}{2}}^{\frac{T_1}{2}}f(t)e^{-jn{\omega }_{1}t}dt={\int }_{-\infty }^{\infty }f(t)e^{j\omega t}dt$$
得到
$$F(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(t)e^{j\omega t}dt$$
即为傅里叶变换，用符号$\mathcal{F}$表示，即：
$$\mathcal{F}[f(t)]={\int }_{-\infty }^{\infty }f(t)e^{j\omega t}dt$$
这里得到的$F(\omega )$相比于$F(n{\omega }_1)$变为连续的，相对于频率谱$F(n{\omega }_1)$，$F(\omega )={\lim }_{{\omega }_1\to 0}F(n{\omega }_1)T_1={\lim }_{{\omega }_1\to 0}\frac{2\pi F(n{\omega }_1)}{{\omega }_1}$被称为频率密度函数，这里乘上$T_1$而不是像周期函数中$F(n{\omega }_1)$直接表示，是因为相比于周期函数的频率是离散表示，非周期函数的频率是连续的，单一频率没有绝对的幅度（其能量/幅度贡献为0），而是取幅度密度（类似于概率论中的概率密度函数）而$|F(\omega )|$在某一点的取值就代表信号在该频率处的能量密度/幅度密度。与$F(n{\omega }_1)$相同，其幅度谱关于纵轴对称，相位谱正负轴为相反数。故实际应用中，只需取半轴加以分析即可。这里，由$F(\omega )={\lim }_{{\omega }_1\to 0}\frac{2\pi F(n{\omega }_1)}{{\omega }_1}$知道，$F(\omega )$的模$|F(\omega )|$对应频率$\omega$处复正弦波的幅度密度，模值越大，说明该频率分量在原信号中占比越强。$F(\omega )$的辐角$\arg [F(\omega )]$对应频率$\omega$处复正弦波的相位。
由于我们通过傅里叶级数导出$F(n{\omega }_1)$，相同的，我们也可以由傅里叶级数得出$f(t)$的$F(\omega )$表示：
$$f(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }F(n{\omega }_1)e^{jn{\omega }_{1}t}$$
当${\omega }_1\to 0$时，
$$f(t)=\underset{{\omega }_1\to 0}{\lim }\sum _{n=-\infty }^{\infty }F(n{\omega }_1)e^{-jn{\omega }_{1}t}=\underset{{\omega }_1\to 0}{\lim }\sum _{n{\omega }_1=-\infty }^{\infty }F(n{\omega }_1)e^{-jn{\omega }_{1}t}$$
且$\Delta (n{\omega }_1)={\omega }_1$，即$\frac{\Delta (n{\omega }_1)}{{\omega }_1}=1$，故有：
$$f(t)=\underset{{\omega }_1\to 0}{\lim }\sum _{n{\omega }_1=-\infty }^{\infty }\frac{F(n{\omega }_1)}{{\omega }_1}{e}^{-j\omega t}\Delta (n{\omega }_1)$$
令$\omega =n{\omega }_1$，求和变积分：
$$f(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }F(\omega )e^{j\omega t}d\omega$$
得到$f(t)$的$F(\omega )$表示，同时也是傅里叶逆变换,通过符号${\mathcal{F}}^{-1}$表示，即：
$${\mathcal{F}}^{-1}[F(\omega )]=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }F(\omega )e^{j\omega t}d\omega$$
从傅里叶逆变换同样可以看出$F(\omega )$是$f(t)$的不同复频率下的幅度密度表示，而对应${\omega }_1\sim {\omega }_2$范围正弦信号幅度贡献可以表示为：
$${\text{幅度}}_{{\omega }_1\to {\omega }_2}=\frac{1}{\pi }{\int }_{{\omega }_1}^{{\omega }_2}|F(\omega )|d\omega$$
正负频率对称，估计积分区间为$[{\omega }_1,{\omega }_2]$和$[-{\omega }_2,-{\omega }_1]$
关于傅里叶级数的存在条件，同样可以从傅里叶级数中寻找，傅里叶级数的存在需要满足$Dirichlet$条件，那么在此基础上，只需把周期变为无穷大，即函数在$[-\infty ,\infty ]$绝对可积即可，即条件为：

1. 信号连续或只有有限个第一类间断点；
2. 信号的极大值和极小值的数目应是有限个；
3. 信号是绝对可积的。

值得注意的是，这些条件是充分不必要条件，对于$\delta (t)$等奇异函数，通过引入广义函数等数学工具，同样存在傅里叶变换。

傅里叶变换的一些性质

多数傅里叶变换的性质通过简单的步骤即可得出，下面仅作简单的列举：

线性

若：
$$\mathcal{F}[f(t)]=F(\omega )$$
则：
$$\mathcal{F}[\sum _{i=1}^n{a}_i{f}_i(t)]=\sum _{i=1}^n{a}_i{F}_i(\omega )$$

对称性

若：
$$\mathcal{F}[f(t)]=F(\omega )$$
则：
$$\mathcal{F}[\mathcal{F}]=2\pi f(-\omega )$$

尺度变换

若：
$$\mathcal{F}[f(t)]=F(\omega )$$
则：
$$\mathcal{F}[f(at)]=\frac{1}{|a|}F\left(\frac{\omega }{a}\right)$$

时移特性

若：
$$\mathcal{F}[f(t)]=F(\omega )$$
则：
$$\mathcal{F}[f(t-t_0)]=F(\omega )e^{-j\omega t_0}$$

频移特性

若：
$$\mathcal{F}[f(t)]=F(\omega )$$
则：
$$\mathcal{F}[f(t)e^{j{\omega }_{0}t}]=F(\omega -{\omega }_0)$$

时域微分

若：
$$\mathcal{F}[f(t)]=F(\omega )$$
则：
$$\mathcal{F}[\frac{df(t)}{dt}]=j\omega F(\omega )$$
拓展到高阶导数有：
$$\mathcal{F}[\frac{d^{n}f(t)}{d{t}^n}]=(j\omega {)}^{n}F(\omega )$$

频域微分

若：
$$\mathcal{F}[f(t)]=F(\omega )$$
则：
$$\mathcal{F}[-jtf(t)]=\frac{dF(\omega )}{d\omega }$$
拓展到高阶导数有：
$$\mathcal{F}[(-jt{)}^{n}f(t)]=\frac{d^{n}F(\omega )}{d{\omega }^n}$$

时域积分

若：
$$\mathcal{F}[f(t)]=F(\omega )$$
则：
$$\mathcal{F}[{\int }_{-\infty }^{t}f(\tau )d\tau ]=\frac{1}{j\omega }F(\omega )+\pi F(0)\delta (\omega )$$

时域卷积

若：
$$\mathcal{F}[f_1(t)]=F_1(\omega )$$
$$\mathcal{F}[f_2(t)]=F_2(\omega )$$
则：
$$\mathcal{F}[f_1(t)\ast f_2(t)]=F_1(\omega )F_2(\omega )$$

频域卷积

若：
$$\mathcal{F}[f_1(t)]=F_1(\omega )$$
$$\mathcal{F}[f_2(t)]=F_2(\omega )$$
则：
$$\mathcal{F}[f_1(t)f_2(t)]=\frac{1}{2\pi }{F}_1(\omega )\ast F_2(\omega )$$

几种常见信号的傅里叶变换

一些信号的傅里叶变换如同常用导数一样，通常可以用来求解其他信号的傅里叶变换，下面同样直接给出：

单边指数信号

$$f(t)=\{\begin{array}{ll}{e}^{-at}& (t\ge 0)\\ 0& (t<0)\end{array}$$
$$F(\omega )=\frac{1}{a+j\omega }$$

双边指数信号

$$f(t)=e^{-a|t|}(t\in \mathbb{R})$$
$$F(\omega )=\frac{2a}{a^2+{\omega }^2}$$

矩形脉冲信号

$$f(t)=E\left[u\left(t+\frac{\tau }{2}\right)-u\left(t-\frac{\tau }{2}\right)\right]$$
$$F(\omega )=E\tau \text{Sa}\left(\frac{\omega \tau }{2}\right)$$

冲激函数

$$\mathcal{F}\left[\delta (t)\right]=1$$
冲激函数的傅里叶逆变换由傅里叶变换的对称性可以得到：
$${\mathcal{F}}^{-1}\left[\delta (\omega )\right]=\frac{1}{2\pi }$$

冲激偶函数

$$\mathcal{F}\left[{\delta }^{\prime }(t)\right]=j\omega$$

阶跃函数

$$\mathcal{F}\left[u(t)\right]=\pi \delta (\omega )+\frac{1}{j\omega }$$

正弦函数

$$\mathcal{F}\left[\sin ({\omega }_{1}t)\right]=j\pi \left[\delta (\omega +{\omega }_1)-\delta (\omega -{\omega }_1)\right]$$

余弦函数

$$\mathcal{F}\left[\cos ({\omega }_{1}t)\right]=\pi \left[\delta (\omega +{\omega }_1)+\delta (\omega -{\omega }_1)\right]$$

周期信号的傅里叶变换

虽然周期信号不满足绝对可积条件，但是上述条件是充分必要条件，广义上周期信号的傅里叶变换仍然是存在的（上面也给出了正余弦函数的傅里叶变换）。前面了解到周期信号可以由傅里叶级数表示为：
$$f(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{F}_n{e}^{jn{\omega }_{1}t}$$
两边取傅里叶变换，有：
$$\mathcal{F}\left[f(t)\right]=\mathcal{F}[\sum _{n=-\infty }^{\infty }{F}_n{e}^{jn{\omega }_{1}t}]=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{F}_n\mathcal{F}\left[e^{jn{\omega }_{1}t}\right]=\mathcal{F}\left[f(t)\right]=2\pi \sum _{n=-\infty }^{\infty }{F}_n\delta (\omega -n{\omega }_1)$$
由该式可知，周期信号的傅里叶变换是其单周期傅里叶变换的离散采样，采样周期为${\omega }_1$。其中$F_n$已知：
$$F_n=\frac{1}{T_1}{\int }_{-\frac{T_1}{2}}^{\frac{T_1}{2}}f(t)e^{-jn{\omega }_{1}t}dt$$
这里我们截取周期信号的一个周期，对其取傅里叶变换，有：
$$F_0(\omega )={\int }_{-\frac{T_1}{2}}^{\frac{T_1}{2}}f(t)e^{-j\omega t}dt$$
可以得到周期信号的傅里叶变换与其在一个周期内的傅里叶变换的关系为：
$$F_n=\frac{1}{T_1}{F}_0(\omega ){|}_{\omega =n{\omega }_1}$$