D3D透视投影矩阵推导

D3D的设备空间为：x ∈[-1, 1] y ∈[-1, 1] z ∈[0, 1]，坐标系为左手坐标系，下面推导D3D的投影矩阵：

设：

• 点P在Camera坐标系下坐标为：, ,
• 在Camera坐标系下*剪切*面的坐标为：（x’, y’）
• 在设备空间中投影后的坐标为(x, y, z)
• Frustum的*剪切*面在Camera坐标系下的坐标范围为: x ∈[l, r], y ∈[b, t], z ∈[n, f]

1. 先求得Camera坐标系下*剪切*面的坐标：（x’, y’）

利用三角形形似得：

 　　　　

 　　　　

2. 求得(x, y, z)和（x’, y’）之间的关系

这里是利用线性插值，把（x’, y’）从x ∈[l, r], y ∈[b, t] 映射到x ∈[-1, 1] y ∈[-1, 1]之中：

 　　　　

 　　　　

整理得：

 　　　　

 　　　　

将投影z坐标映射到区间[0, 1]需要进行比较复杂的计算。由于点P位于Frustum之内，因此他的z坐标值满足n ≤ ≤ f。其中n和f分别是摄像机点到*视截面和远视截面的距离。我们希望找到一个将[n, f]映射到[0, 1]的函数。在扫描光栅化过程中，必须对z坐标进行倒数进行行插值，因此这里需要建立关于的映射函数，这样就可以对投影深度值进行线性插值，对应的映射函数形式为：

 　　　　

利用待定系数得：

 　　　　

 　　　　

整理得：

 　　　　

 　　　　

所以得：

 　　　　

3. 求得(x, y, z)和, , 之间的关系:

通过1和2的结论整理关系得：

 　　　　

 　　　　

 　　　　

整理成齐次形式：

 　　　　

 　　　　

 　　　　

4. 得矩阵：

　　　　

5. 在通常情况下：l = -r, b = -t 带入得

 　　　　

此矩阵和D3DXMatrixPerspectiveLH所得结果一致。