P2764 最小路径覆盖问题

\(\color{#0066ff}{题目描述}\)

给定有向图G=(V,E)。设P 是G 的一个简单路（顶点不相交）的集合。如果V 中每个顶点恰好在P 的一条路上，则称P是G 的一个路径覆盖。P 中路径可以从V 的任何一个顶点开始，长度也是任意的，特别地，可以为0。G 的最小路径覆盖是G 的所含路径条数最少的路径覆盖。设计一个有效算法求一个有向无环图G 的最小路径覆盖。提示：设V={1，2，.... ，n}，构造网络G1=(V1,E1)如下：

每条边的容量均为1。求网络G1的（ 0 x , 0 y ）最大流。

对于给定的给定有向无环图G，编程找出G的一个最小路径覆盖。

\(\color{#0066ff}{输入格式}\)

文件第1 行有2个正整数n和m。n是给定有向无环图G 的顶点数，m是G 的边数。接下来的m行，每行有2 个正整数i和j，表示一条有向边(i,j)。

\(\color{#0066ff}{输出格式}\)

从第1 行开始，每行输出一条路径。文件的最后一行是最少路径数。

\(\color{#0066ff}{输入样例}\)

11 12
1 2
1 3
1 4
2 5
3 6
4 7
5 8
6 9
7 10
8 11
9 11
10 11

\(\color{#0066ff}{输出样例}\)

1 4 7 10 11
2 5 8
3 6 9
3

\(\color{#0066ff}{数据范围与提示}\)

有spj

\(\color{#0066ff}{题解}\)

最小路径覆盖=总点数-最大匹配/最大流

拆点，每个点拆成出点和入点

原图中\(i \to j\)，则将i的出点和j的入点连边

最后暴力跳就行

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<queue>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define _ 0
#define LL long long
inline LL in()
{
	LL x=0,f=1; char ch;
	while(!isdigit(ch=getchar()))(ch=='-')&&(f=-f);
	while(isdigit(ch)) x=x*10+(ch^48),ch=getchar();
	return x*f;
}
const int inf=0x7fffffff;
const int max=1050;
int n,m,s,t,cnt=1;
struct node
{
	int to,nxt,dis;
	node(int to=0,int nxt=0,int dis=0):to(to),nxt(nxt),dis(dis){}
}e[120000]; 
int head[max],cur[max],dep[max];
std::queue<int> q;
bool vis[max];
inline void add(int from,int to,int dis)
{
	e[++cnt]=node(to,head[from],dis);
	head[from]=cnt;
}
inline bool bfs()
{
	for(int i=s;i<=t;i++) cur[i]=head[i],dep[i]=0;
	dep[s]=1;
	q.push(s);
	while(!q.empty())
	{
		int tp=q.front(); q.pop();
		for(int i=head[tp];i;i=e[i].nxt)
		{
			int go=e[i].to;
			if(!dep[go]&&e[i].dis>0) 
			{
				dep[go]=dep[tp]+1;
				q.push(go);
			}
		}
	}
	return dep[t];
}
inline int dfs(int x,int change)
{
	if(x==t||!change) return change;
	int flow=0,ls;
	for(int i=cur[x];i;i=e[i].nxt)
	{
		int go=e[i].to;
		cur[x]=i;
		if(dep[go]==dep[x]+1&&(ls=dfs(go,std::min(e[i].dis,change))))
		{
			change-=ls;
			flow+=ls;
			e[i].dis-=ls;
			e[i^1].dis+=ls;
			if(!change) break;
		}
	}
	return flow;
}
inline int dinic()
{
	int flow=0;
	while(bfs()) flow+=dfs(s,inf);
	return flow;
}
inline int nxt(int x)
{
	for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt)
	{
		int go=e[i].to;
		if(go>=n+1&&go<=n+n&&e[i].dis!=inf) return go-n;
	}
	return 0;
}
inline void print()
{
	int ans=dinic();
	vis[0]=true;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		if(!vis[i])
		{
			for(int o=i;!vis[o];o=nxt(o))
			{
				vis[o]=true;
				printf("%d ",o);
			}
			putchar('\n');
		}
	}
	printf("%d",n-ans);
}
int main()
{
	n=in(),m=in();
	s=0,t=(n<<1)+1;
	int x,y;
	for(int i=1;i<=m;i++) x=in(),y=in(),add(x,y+n,inf),add(y+n,x,0);
	for(int i=1;i<=n;i++) add(s,i,1),add(i,s,0),add(i+n,t,1),add(t,i+n,0);
	print();
	return 0;
}