谈谈针对数据的特殊性来设计算法

 

在我的理解中，许多计算机算法是针对某个特殊的问题来设计算法，也就是说这个问题并不是“普适”，而它的特殊性就体现在数据的范围上，所以我们应该提高对数据的敏感度，寻找合适的突破口来解决整个问题。以下面这个问题为例:
堆蛋糕
其实小布是一个十分犀利的蛋糕师。他最喜欢的食物就是蛋糕。一天，他自己做出了N个圆柱状的蛋糕，每个蛋糕 都有一个底面圆的半径Ri。高度都是一样的。小布在开始享用他的蛋糕大餐之前忽然觉得，圆柱状的蛋糕没有什么 诱惑力。小布看到了别人结婚用的蛋糕都是很多很多层的，那样的蛋糕才比较给力。但是堆太多层的蛋糕比较困难 ，于是小布想要堆出许多三层的蛋糕，再开始自己的蛋糕大餐。当然，作为蛋糕师，小布在堆蛋糕的时候不会对蛋 糕的形状有任何破坏，而且，小布希望三层蛋糕的半径从上往下严格递增。这才是一个普通的好蛋糕。但是小布在 考虑一个十分重要的问题，最多可以堆出多少三层蛋糕呢？

Input
输入第一行仅包含一个整数N,表示蛋糕的数量。
接下来N个整数，表示每个蛋糕半径的大小Ri。
N<=3,000,000 Ri<=N

Output
输出一行仅包含一个整数，表示最多可以做成多少个蛋糕

Samples
输入数据 1
6
1 2 3 4 3 2
输出数据 1
2

拿到问题后，我们可以发现以下几个问题:
1:N小于等于3e6,这就说明N平方的算法是不可能通过的。
2:蛋糕半径R小于3e6,这就意味着我们可能对R进行桶排，找出某个半径出现的次数。
3:每个蛋糕只堆3层，3是一个比较小的数字了。
4:蛋糕的组成，只要3层的半径呈现一个递增的数列就好了。

于是拿样例来看，我们可以先统计出每种半径出现的次数，得到如下结果
半径值 1 2 3 4
出现次数 1 2 2 1
接下来本题最关键的点到了，我们如何完成数字之间的配对。也就是说
如果我们让半径值为(1,2,4)组成一个蛋糕后，剩下的半径值为(2,3,3),就再不能组成新的蛋糕了，而事实上我们可以组成(1,2,3),(2,3,4）这2个蛋糕出来。也就是说由于每种半径出现的次数是不一样的，此时为了组成尽可能多的蛋糕，我们应该尽量先使用次数较多的数字，而不是使用出现次数较小的，因为这样会导致后期会现有蛋糕的数量较多，但种类却没有3种的尴尬局面。
总结本题求解过程:
1:求出每个半径出现的次数，由于每次都要找出出现次数最大的3个数字，所以我们可以将其丢到大根堆中。
2:不断从堆中取出3个数字a,b,c出来，并且a>=b>=c,于是可能组成c个蛋糕出来。
3:将没有用完的蛋糕丢回堆中，即a-c与b-c的值.
4:重复执行(2),（3）步骤直至堆中的元素不足3类。

代码如下:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,x,kinds,k1,k2,k3,ans=0;
int num[3000010]={0};
priority_queue<int>d;
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	kinds=0;
	
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%d",&x);
		num[x]++;	
	}
	for(int i=1;i<3000010;i++)
		if(num[i]>0)
	  	d.push(num[i]);
	while(d.size()>=3)
	{
		
		k1=d.top();
		d.pop();
		k2=d.top();
		d.pop();
		k3=d.top();
		d.pop();
		k1=k1-k3;
		k2=k2-k3;
		if(k1>0)
			d.push(k1);
		if(k2>0)	
			d.push(k2);
		ans=ans+k3;
		k3=0;
		
	}
	printf("%d",ans);
	
	return 0;			
}

　　

然而当我再拿到这个题时,我的思维又被打开了.
组建部门
EYENCE有N个部门，第i个部门有ai名员工（1≤i≤N）。没有员工属于多个部门。 该公司正在计划跨部门的项目。每个项目将由从K个不同部门中，每个部门选出一个人，共K名员工组成。 最多可以做多少个项目？没有员工可以参与多个项目

Input
第一行给出N,K 接下来给出N个数字，代表a1....an
1≤K≤N≤2×10^5
1≤Ai​≤10^12

Output
如题

样例输入
3 3
2 3 4

样例输出
2

 

对于样例2

4 2

1 1 3 4

 

不妨设第1个部门的员工为a 设第1个部门的员工为b 设第1个部门的员工为c1,c2,c3 设第1个部门的员工为d1,d2,d3,d4 因为每个项目组需要2个人 于是我们可以按这个的方式进行配对(c1,d1),(c2,d2),(c3,d3),(a,b)。于是最多可以建立4个项目组

 

题解:这个题与上一个题大同小异，都是不断一个数列中取出权值最大的K个数字，设为
a1,a2,a3....ak且a1>=a2>=a3>=....aK.然后再将a1-ak,a2-ak,a3-ak.....的值丢回原数列。
但上个题中因为K的值较小，我们可以用堆来完成，此题K的值很大，就算用上堆删除中的"lazy"标记操作，也是很麻烦的。于是我们需要另寻找突破口。考虑到这是一个求最优值的问题，于是我们可以二分一个答案出来，然后检验这个答案是否合法，步骤如下：
1:设二分的左边界L=1,右边界R为1e7/n
2:设mid=(L+R)/2,然后扫一遍每个数人数a[i],如果a[i]<mid，则这个组的人全用上，否则就只用上mid个人,同时进行人数的累加sum
3:检验总人数sum>=k*mid,则说明分成mid组是可行的，否则不可行。
代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,k,i;
long long ans,l=1,r,mid,s,a[200001],sum;
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&k);
    for(i=1;i<=n;i++) //N个部门 
        scanf("%lld",a+i),sum=sum+a[i];
    r=sum/k;
	 //因为每个项目组要K个人，所以至多构成sum/k个项目组 
    ans=0;
    while(l<=r)
    {
        mid=l+r>>1;
        // 准备组成mid个项目组 
        s=0;
        for(i=1;i<=n;i++)
            if(a[i]<mid)
                s+=a[i];
            else
                s+=mid;
        if(s>=k*mid)
            l=mid+1,ans=max(ans,mid);
        else
            r=mid-1;
    }
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}

　　

 

　　

总结:设计算法如同行兵打仗，对于"敌人"实力强大的地方，就避开之，寻找其薄弱的部位进行攻击。如果正面强攻效果不好，则需要另辟蹊径。