关于"丢失的牛"这个题的教学反思[原创]

最近在教学中，和学生探讨《丢失的牛》这一问题，引发了我的思考，下面简单谈谈《丢失的牛》问题及引发的思考。

【问题描述】给你一个正整数n，有一个1到n的全排列，现告诉你该全排列中从第二个位置开始到最后一个位置，每个位置的前面的数字中比它小的数的个数，请你求该n的全排列中每个位置上的数字是多少？n<=8000

【输入格式】第一行为一个正整数n；第二行为n-1个整数，表示n的全排列中第二个位置到最后一个位置，每个位置的前面的数字中比它小的数的个数。

【输出格式】一行n个正整数，为n的全排列。

【样例输入】

5

1 2 1 0

【样例输出】

2 4 5 3 1

初步分析样例输入，尝试正向求解。对于输入的第1个数字1，表示5的全排列中的第2个位置上的数字，前面有1个数字比它小。先只考虑第1和第2个位置上的数，数对(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)均是满足条件的，仔细算下有c(5,2)个数对满足条件。若分别以这些数对为最初状态来进行后面的推演是很困难的。

正难则反，于是我们倒过来做。设输入数列为ai,结果数列为ansi，ansi的数值其实就是在1~n的数字之间找第ai+1小的数字。每求出一个ansi来后，要将其数从1~n的数中删除掉。以样例输入说明其过程：

对输入数据1，2，1，0，从后往前看，对于数字0，表示前面没有数字比当前位置数字小，问题求解即是在数字1~5之间找第1小的数，明显为1，我们记下这个值并将其从1~5的数列中删除掉。对于倒数第2个数字1，代表要在数字2~5之间找第2小的数字，明显为3，我们记下这个值并将其从原数列中删除掉。对于输入的倒数第3个数字2，代表在数列(2,4,5)中第3小的数字，明显为5。对于输入的倒数第4个数字1，代表在数列(2,4)中找第2小的数字，明显为4。最后还剩下数字2，易知其为结果数列的第1个数字。于是最终找出来的数列为(2,4,5,3,1)。这个题就本质而言就是一个动态求第K小数字的问题，而且数据范围也不大，可以暴力来进行实现。

 

代码如下：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int a[8010],f[8010],ans[8010];
int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=2;i<=n;i++)
        scanf("%d",&a[i]);
    for(int i=n;i>=1;i--)
    {
        int sum=0;
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            if(!f[j])sum++;
            if(sum==a[i]+1)
            {
                ans[i]=j;
                f[j]=1;
                break;
            }
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        printf("%d\n",ans[i]);
    return 0;
}

　　接下来，我就安排学生自行书写程序了。但有个学生一直在纸上写写画画，我问他：“有什么疑问吗？”他说：“老师，我觉得这个题正着做，也是可以的。”我有些不耐烦的说：“这个题，我认真研究过，正着做是不太可能的。”学生倔强的说：“老师，你让我试试吧。”过了一小会儿，学生按他的思路成功解决了这一问题。下面仍然以样例输入为例，思路如下：

对于问题求解的结果数列，先不妨设第1个位置上的数字为1。然后从第2个位置依次求解到第5个位置。对于输入1，2，1，0中的第1个数字1，代表第2个位置上的数字前面有1个数字比它小，所以可设第2个位置上的数字为2，目前结果数列为1，2；然后于输入的2来说，代表第3位上的数字前面有2个数字比它小，所以可设之为3，结果数列为1，2，3；于输入的1来说，代表第4个位置上的数前面有1个数字比它小，所以可设之为2，于是对前面的结果数列1，2，3进行调整，将所有大于等于2的数字分别加1，结果数列变成1，3，4，2；最后于输入的0来说，代表第5个位置上的数字前面有0个数字比它小，所以将第5个位置上的数字设置为1，从而对前面的结果数列1，3，4，2进行调整，将所有大于等于1的数字分别加1，于是结果数列变成2，4，5，3，1。

代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,a[8000],b[8000],t;
int main(){
    cin>>n;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        cin>>a[i];
    }
    b[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        b[i]=a[i]+1;
        //对于第i个位置来说，在它前面有a[i]个数字比它小，于是可以不考虑其它因素
        //这个位置上应该是a[i]+1.
        for(int j=1;j<=i-1;j++)
        //对于在其左边的数字，如果其权值大于b[i]，则对其进行调整
            if(b[j]>=b[i])
                b[j]++;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cout<<b[i]<<endl;
    }
    return 0;
}

　　仔细思考学生的求解过程 ，他比我最开始的想法更进一步，原因在于以下两点：（1）对于数列的第1个位置上的数来说，它的左边没有别的数字，自然也就没有数字比它小。（2）本题是求某个n的全排列，也就是说当n=1时，这个全排列是唯一的，就是数列1。如果n=2，则样例输入就只需要给出1个数字，我们求解出来的，自然也就是一个2的全排列。

于是他的整个求解就有一个扎实的“初状态”，即可以设结果数列的第1个位置就是数字1。然后根据输入的数列ai，设第i个位置上的数字为ai+1，再对位置i-1前的结果数列进行适当的调整，保证其始终是一个满足题意的n的全排列的子序列。

通过这一教学案例，我有以下几点感怀：首先，学生的创造性是无穷的，永远要去鼓励学生积极探索。我们的学生都是一个个鲜活的个体，他们天生没有束缚，有着无穷的探知欲。反而成年人多了很多条条框框，老师不能以自己的身份去打压学生的探索欲，而是应该去鼓励他们积极探索。当然这种探索应该是以理性思考为基础，进行缜密的分析，层层推进。其次，对于每节课，老师应该给学生一定的自主空间。对于教学来说，最简单最无脑的教法就是老师从头讲到尾，不给学生任何思考的机会。这样的课看似老师很负责任，非常卖力的在讲。但事实上学生接收了多少呢，就算有一定的接收，这种被动的接收，对他的心智的启发又有多大呢？所以对于教学来说，之所以可称之为一门艺术，很大的原因就在于，当面临的学生个体不同，课堂的设计是完全不同的，教学情景如何设计、如何引出问题，引导学生进行分析并进行析疑等等都是非常有讲究的。

       题后记：本题用树状数组+二分，可以做到N*Log₂^N* Log₂^N的时间复杂度；如果对倍增思想理解得很深的话，可以做到N* Log₂^N；如果直接用线段树，能较为轻松的做到N* Log₂^N。