某科学的简单图论

既然说是简单图论，那就谈谈简单的东西好了。

先举一个特别简单的例子，比如说一个关系图。

我是yxc的父亲，那么我和yxc就构成了父子关系。而我又同样是xlc和cx的父亲，那么我就是他们的共同的父亲。

这样的关系图绘制出来就是一幅图。

这是一个崭新的数据结构（虽然这是第一个数据结构，竟然就是图了嘛），叫做图。

从数学的角度来解释图，图就是点边的集合。在信息学里，我们只考虑有限的图。我们将一幅图表示为G=（V,E）;

V是点的集合，E是边的集合。

那么有一个问题就出现了，什么情况下要加入一条边呢？答案非常的明显，就是当两者有关系的时候加边呗。

那么接下来引出有向图和无向图的概念。

那b站up来举例子吧。

老番茄只关注了辣个变态（bushi），很多的up关注了老番茄。此时把关注当做一条边的话，那么就是由很多up连向老番茄的一条边，老番茄连向变态的那条边。这样的一幅图，就叫做“有向图”，即边是有方向的。

而我们知道，老番茄关注了变态，变态也关注了番茄。这俩是相互的关注，我们把一样相互的边称为无向边。从此我们可以知道，两条双向的有向边和一条无向边是等效的。由无向边组成的图，我们就称为“无向图”。

接下来给各位两幅图，一个是有向图，一个是无向图。

无向图：V（1,2,3,5,6） E{（1,2），（2,3），（1,5），（2,6），（5,6）}

无向图中的边的集合中，两点之间就有一条线，即（x，y）就是在x和y之间连了一条线。注意：此时（x,y）等效于（y,x）

有向图：V（1,2,3,5,6） E{（1,2），（2,3），（1,5），（2,6），（5,6）}

有向图的边的集合中，两点之间的线是存在方向的，即（x,y）是从x出发指向y的一条线,x是起点，y是终点。注意：此时（x,y）不等效于（y,x）

对于以上图的分类需要注意好，在存图的时候会用到。

图本身的概念讲完了，讲讲图相关的概念。

稠密图和稀疏图。这个概念很好理解的，把一幅图比作你的头，边就是你的头发，规定一个标准，如果e < nlogn，那就算是稀疏图，反之相反。

如果没有边，只存在点的话，就是零图。

完全图。完全图也分为有向完全图和无向完全图（一般无向完全图直接称作完全图）。

无向完全图：e = n*(n+1) / 2 时，就是一个无向完全图。

有向完全图：任何一个顶点u，v之间都有两条有向边（u，v），（v，u），那么就称作有向完全图。

（可以自己画一个或者百度一个找找感觉）

如果从一个点出发，沿着边走可以到达每一个点，就可以称作连通图（有向边要走该有向边方向），显然完全图就是连通图

度。在图中，度的概念有所不同，度是指该边能够引出的边的数目，称作度。

在有向图里，有入度和出度两个概念，入度是指以这个点为终点的有向边数量，出度是以这个点为起点的有向边数量，入度就是以这个点作为终点的有向边数量。

注意：在有向图里，只有入度和出度这两个概念，没有纯“度”的概念。

接下来介绍一下度的性质：

1.顶点度数的总和就是边数的2倍

2.有向图里，入度=出度

接下来是关于度数的统计，可以先想一想怎么实现。

首先是无向图，只用在输入这幅图的时候直接记录就行了，开一个DEG数组。

#include <iostream>
using namespace std;
int deg[10005];
int main() {
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    for(int i = 0; i < m; i++) {
        int u, v;
        cin >> u >> v;
        deg[u]++;
        deg[v]++;
    }
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        cout << deg[i] << " ";
    }
    return 0;
}

接下来是有向图，如果你看懂了无向图的度数存储方式，其实有向图只是照葫芦画瓢，注意出度入度的安排即可。

#include <iostream>
using namespace std;
int outdeg[105], indeg[105];
int main() {
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        int u, v;
        cin >> u >> v;
        outdeg[u]++;
        indeg[v]++;
    }
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        cout << outdeg[i] << " " << indeg[i] <<endl;
    }
    return 0;
}

到此，关于图的基本概念已经几乎结束了。

下一篇文应该就是图的存储方式了。（不过不知道什么时候写，毕竟是老鸽子了，大概在noip2020之前吧）

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