题解 UVA11346 【概率 Probability】

这道题目真是良心啊，没有卡精度

需要知道的知识：

• 基础的概率论
• 简单的微积分
• 天马行空的想象力

分3种情况讨论：

第一种情况

输入的\(S\)是大于\(a\times b\)的，那么这个概率就是0%。

第二种情况

如果输入的\(S\)太小了，无限接近于0的话，那么概率就无限接近100%（良心出题人，没有卡这里的精度，如果再卡卡就要弄死我了）

第三种情况

也就是一般的情况

这里需要一些基础的初中数学知识来帮我们计算这个概率。

• 因为这个区域是用平面直角坐标系的形式来描述的，所以我们可以运用分治的思想，沿\(x\)轴和\(y\)轴，把这个矩形分成4份。
• 然后根据这个对称性，我们容易知道，直接在\([0,a]*[0,b]\)的矩形内取点即可，答案不用除以4
• 然后？说过了要天马行空的想象力，那么我们来瞎搞吧qwq

具体思路：

1. 设取出的\(P\)点的坐标是\((x,y)\)
2. 那么我们可以知道，以\(OP\)为对角线的长方形面积就是等于\(x\times y\)
3. 当\(xy>S\)的时候，就是我们需要的。但是，不等式十分的\(**\)，所以，我们考虑函数来解释几何：当\(xy=S\)时，也即\(y=\frac{S}{x}\)时，所成的函数曲线在矩形\([0,a]*[0,b]\)以上的面积，再去除以这个矩形的总面积，就是答案了。
4. 用定积分计算出这个矩形下面的面积，再用矩形的面积减去这个下面的面积，就是上面的面积。

所以我们要来搞搞喜闻乐见的定积分计算了

函数\(y=\frac{S}{x}\)是个反比例函数，也即双曲线函数。之前说过了，我们只讨论在第一象限内的玩意。

由于反比例函数的性质，我们容易知道，这个函数与矩阵的交点在\((\frac{S}{b},b)\)，然后这个玩意的左边那个矩形的高是\(a\)，所以我们应该在\([\frac{S}{b},a]\)这个范围内对函数\(y=\frac{S}{x}\)进行积分.

scw曾经不知天高地厚地背过积分表，然后……就用上了啊

\[\text{下边的面积}=S+\int_{\frac{S}{b}}^{a}\frac{S}{x}\,dx \]

推式子：

\(\text{下边的面积}=S+S\times \int_{\frac{S}{b}}^{a}\frac{1}{x}\,dx\)

\(\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,=S+S\times (\ln a-\ln \frac{S}{b})\)
//记得这个\(\int\frac{1}{x}\,dx=\ln x\)，然后套上牛顿--莱布尼兹公式

\(\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,=S+S\times (\ln \frac{ab}{S})\)
//\(\ln\)的性质

\(\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,=S\times (1+\ln \frac{ab}{S})\)

\(\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,=S\times (1+\ln \frac{ab}{S})\)

---

\(Answer=\frac{\text{上面的面积}}{\text{总面积}}\)

\(\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,=\frac{\text{总面积-下面的面积}}{\text{总面积}}\)

\(\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,=\frac{ab-S\times (1+\ln \frac{ab}{S})}{ab}\)

然后？没了啊，就是这个基础的积分。如果没背过积分表的人可以用自适应辛普森算法（题解区里好像有人写？菜鸡的我不会……哭卿卿）

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n;
double a,b,s;
int main()
{
  cin>>n;
  while(n--)
  {
    cin>>a>>b>>s;
    if(s>a*b) cout<<"0.000000%"<<endl;
    else if(s<0.001) cout<<"100.000000%"<<endl;
    else
    {
      double ans=100.0*(a*b-s*(1+log(a*b/s)))/a/b;
      printf("%.6lf",ans);
      cout<<"%"<<endl;
    }
  }
  return 0;
}

（很好奇为啥第一篇题解是printf的%啊，多麻烦，敲俩%，cout只要敲一个%，剩下一个去%管理员去不好吗）

qwq就是这样子辣，喵喵喵（概率论真是很可爱呢）