卡特兰数

这里整合一下正确无误的卡特兰数公式

 

1.递推式1：f(n)=sigma(f[i]*f[n-1-i])    (0<=i<=n-1)  

2.递推式2：f(n+1)=f(n)*(4n+2)/(n+2);

注：递推式中f(0)=1;

3.通项公式1：f(n)=C(2n,n)/(n+1)=(2n)!/[(n!)*(n+1)!];

4.通项公式2：f(n)=C(2n,n)-C(2n,n+1);

 

 

关于卡特兰数怎么用：

公式推导(zhi jie da biao)。没错，就是打表找规律，暴力出奇迹。找到后用递推或通项就ok了。记住卡特兰的前几项就好，1, 2, 5, 14, 42, 132, 429,......发现样例恶心到算不出来时，就热动分析，理论推导一下，看看能不能套到以下这几个常见套路中来：

 

 

1.几何意义，如图，从（0,0）走到（n，n）而不超过y=x这条直线的方案数

2.左右括号的匹配问题，即在任意一个右括号之前，左括号个数一定大于等于右括号个数。

3.进栈出栈问题

4.在多边形内连边分割三角形问题或在多边形中连接各个顶点而直线不相交有多少种连接方法的问题

5.参见洛谷 树屋阶梯 https://www.luogu.org/problemnew/show/P2532 的拼图方案

 

这里有一篇很不错的博客讲解了卡特兰数公式的推导而且有几何意义(已确认公式无误) https://www.cnblogs.com/zyt1253679098/p/9190217.html