集合等势

(1)\(\mathbf{N}\approx\mathbf{Q}\)

考虑Stern-Brocot Tree。对于任意有理数,考虑其在Stern-Brocot Tree上的位置,用二进制表示之。

(2)\(\mathbf{N}\not\approx\mathbf{R}\)

\(\forall f: \mathbf{N}\to[0,1)\),构造实数\(x_0\),使得\(\forall i\in\mathbf{N}\)\(x_0\)的二进制小数第\(i\)位不等于\(f(i)\)的二进制小数第\(i\)位。这样,\(\forall i\in\mathbf{N}\)\(f(i)\neq x_0\)

(3)\(A\not\approx P(A)\)

对任意\(f\),如果\(x\not\in f(x)\)就把\(x\)扔到一个集合\(B\)里面。这样子,\(\forall x\in A\),如果\(x\in f(x)\)\(x\not\in B\)从而\(f(x)\neq B\),如果\(x\not\in f(x)\)\(x\in B\),从而\(f(x)\neq B\)。从而\(B\)没有和任意\(x\)对应。

(4)\(\mathbf{R}\approx P(\mathbf{N})\)

\(\forall x\in [0,1)\),设其二进制小数点后第\(i\)位为\(b_i\),则在\(P(\mathbf{N})\)中对应的元素为\(\{x|b_x=1\}\)

但是这么做是不对的,因为一个数可能有两种表示,这么做只证明了\(P(\mathbf N)\)\(\mathbf R\)的满射。

还要证明存在一个单射,用十进制表示就可以了。

posted @ 2020-10-29 21:52  ghj1222  阅读(766)  评论(0编辑  收藏  举报