组合计数技巧

约定

\(x^{\underline{p}}\) 表示 \(x\) 的 \(p\) 次下降幂，即

\[x^{\underline{p}}=\prod\limits_{i=0}^{p-1}(x-i) \]

\(\displaystyle{n\brace m}\) 表示第二类斯特林数。

推式子

\[\begin{aligned} m^n&=\sum\limits_{i=0}^{\color{red}{n}}\displaystyle{n \brace i}m^{\underline{i}}\\ &=\sum\limits_{i=0}^{\color{red}{m}}\displaystyle{n \brace i}m^{\underline{i}} \end{aligned} \]

具体情况下哪个方便选用哪个。

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\[\begin{aligned} x^{\underline{p}}&=\dfrac{x!}{(x-p)!}\\ &=\dbinom{x}{p}p! \end{aligned} \]

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\[\dbinom{i}{j}\dbinom{j}{k}=\dbinom{i}{k}\dbinom{i-k}{j-k} \]

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\[\sum\limits_{i=j}^{n}\dbinom{i}{j}=\dbinom{n+1}{j+1} \]

转移

\[\dbinom{n}{m+1}=\dfrac{n-m}{m+1}\dbinom{n}{m}\\ \dbinom{n+1}{m}=\dfrac{n+1}{n-m+1}\dbinom{n}{m} \]