极限

数列极限

数列极限的定义

已知数列 \(\{a_n\}\) 及固定实数 \(a\)，如果对于任意事先给定的整数 \(\epsilon\)，总能找到自然数 \(N\)，只要自然数 \(n>N\)，就有 \(|a_n-a|<\epsilon\)，则称当 \(n\) 趋向 \(+\infty\) 时，\(\{a_n\}\) 的极限存在，且极限为 \(a\)，记作

\[\lim\limits_{n\to+\infty}a_n=a \]

常用结论

如果存在正实数 \(M\)，使得 \(\forall n\)，都有 \(|a_n|<M\)，则称数列 \(\{a_n\}\) 有界。

由定义可得以下两个常用结论：

• 单调有界数列必有极限，无界数列必无极限。
• 若两个子序列有极限且极限不同，则数列必无极限。

运算法则

设数列 \(\{a_n\}.\{b_n\}\) 满足 \(\lim\limits_{a\to+\infty}a_n=a\) 且 \(\lim\limits_{n\to+\infty}=b\)，那么：

• \(\lim\limits_{n\to+\infty}(a_n\pm b_n)=a\pm b\)。
• \(\lim\limits_{n\to+\infty}(a_n\cdot b_n)=ab\)。
• 若 \(b,b_n\) 均不为 \(0\)，则 \(\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{a_n}{b_n}=\dfrac ab\)。

常见数列极限

• \(\lim\limits_{n\to+\infty}c=c\)，其中 \(c\) 为常数。
• \(\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1}{n^a}=0\)，其中 \(a\) 为常数且 \(a>0\)。
• \(\lim\limits_{n\to+\infty}a^n=0\)，其中 \(a\) 为常数且 \(0<a<1\)。
• \(\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{f(n)}{a^n}=0\)，其中 \(a\) 为常数且 \(a>1\)，\(f(n)\) 为有关 \(n\) 的多项式。

夹逼定理

如果数列 \(a_n\le b_n\le c_n\)，\(t\) 为一常数，若有

\[\lim\limits_{n\to+\infty}a_n=\lim\limits_{n\to+\infty}c_n=t \]

则

\[\lim\limits_{n\to+\infty}b_n=t \]

例题

Q1

求证：

\[\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1}{3^n}=0 \]

对于任意给定的 \(\epsilon>0\)​，

取 \(N=\left\lfloor\log_3\dfrac{1}{\epsilon}\right\rfloor+1\)，则

当 \(n>N\) 时，\(\left|\dfrac{1}{3^n}-0\right|<\epsilon\)。

故 \(\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1}{3^n}=0\)。

Q2

求

\[\dfrac{2n^2-1000n}{n^2+2} \]

的极限。

\[\begin{aligned} \lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{2n^2-1000n}{n^2+2}&=\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{2-\frac{1000}{n}}{1+\frac{2}{n^2}}\\ &=\dfrac{\lim\limits_{n\to+\infty}\left(2-\frac{1000}{n}\right)}{\lim\limits_{n\to+\infty}\left(1+\frac{2}{n^2}\right)}\\ &=\dfrac{2}{1}\\ &=2 \end{aligned} \]

Q3

求

\[\dfrac{n+1}{\sum\limits_{i=1}^{n}i} \]

的极限。

\[\begin{aligned} \lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{n+1}{\sum\limits_{i=1}^{n}i}&=\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{n+1}{\frac{n(n+1)}{2}}\\ &=\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{2}{n}\\ &=0 \end{aligned} \]

[!WARNING]

\[\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\sum\limits_{i=n}^{2n}\dfrac{1}{i}\right)\neq\sum\limits_{i=n}^{2n}\left(\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1}{i}\right) \]

左边式子中有 \(n+1\) 项，当 \(n\to+\infty\) 时有 \(+\infty\)​ 项，所以不能直接拆开计算！

涉及无穷时不能想当然！

函数极限

函数极限的定义

如果存在 \(r>0\)，使 \(D=\{x\mid 0<|x-x_0|<r,r>0\}\) 包含于 \(f(x)\) 的定义域，则说 \(y=f(x)\) 在 \(x_0\) 附近有定义，称 \(D\) 是 \(x_0\) 的邻域。

设函数在 \(y=f(x)\) 在 \(x_0\) 附近有定义，\(y_0\) 是实数。如果对任意给定的正数 \(\epsilon\)，总能找到正数 \(\delta\)，只要实数 \(x\) 满足 \(0<|x-x_0|<\delta\)，就有 \(|f(x)-y_0|<\epsilon\)，则称当 \(x\) 趋近 \(x_0\) 时，\(f(x)\) 的极限存在，且极限为 \(y_0\)，记作

\[\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=y_0 \]

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如果对任意给定的正数 \(\epsilon\)，总能找到正数 \(\delta\)，只要实数 \(x\) 满足 \(x_0<x<x_0+\delta\)，就有 \(|f(x)-y_0|<\epsilon\)，则称当 \(x\) 由右边趋向 \(x_0\) 时，\(f(x)\) 的右极限存在，且右极限为 \(y_0\)，记作

\[\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)=y_0 \]

如果对任意给定的正数 \(\epsilon\)，总能找到正数 \(\delta\)，只要实数 \(x\) 满足 \(x_0-\delta<x<x_0\)，就有 \(|f(x)-y_0|<\epsilon\)，则称当 \(x\) 由左边趋向 \(x_0\) 时，\(f(x)\) 的左极限存在，且左极限为 \(y_0\)，记作

\[\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)=y_0 \]

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左极限与右极限统称单侧极限。

\[\exists\lim\limits_{x\to x_0}f(x)\iff\left(\exists\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)\right)\land\,\left(\exists\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)\right)\land\,\left(\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)=\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)\right) \]

运算法则

设 \(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=a\) 且 \(\lim\limits_{x\to x_0}g(x)=b\)，那么：

• \(\lim\limits_{x\to x_0}\big(f(x)\pm g(x)\big)=a\pm b\)。
• \(\lim\limits_{x\to x_0}\big(f(x)\cdot g(x)\big)=ab\)。
• 当 \(b\neq0\) 时，\(\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac ab\)。

常见的函数极限

• \(\lim\limits_{x\to x_0}c=c\)，其中 \(c\) 是常数。
• \(\lim\limits_{x\to x_0}x^a=x_0^a\)，其中 \(a\) 是常数。
• \(\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1\)。
• \(\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\tan x}{x}=1\)。
• \(\lim\limits_{x\to\infty}\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^x=e\)。
• \(\lim\limits_{x\to 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e\)​。
• \(\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{e^x-1}{x}=1\)。
• \(\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\ln(x+1)}{x}=1\)。

例题

Q1

判断当 \(x\) 趋向于 \(x_0\) 时，以下函数是否有极限；若存在，请写出极限值。

\[\begin{align} f(x)&=\dfrac{x-1}{\sqrt{x}-1}&x_0=1\\ g(x)&=\sin\dfrac{1}{x}&x_0=0 \end{align} \]

\[\begin{aligned} \lim\limits_{x\to 1}f(x)&=\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{(x-1)(\sqrt{x}+1)}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}\\ &=\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{(x-1)(\sqrt{x}+1)}{x-1}\\ &=\lim\limits_{x\to 1}(\sqrt{x}+1)\\ &=2\\ \end{aligned} \]

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构造序列 \(\{a_n\},\{b_n\}\)，通项公式为

\[\begin{aligned} a_n&=\dfrac{1}{2n\pi}\\ b_n&=\dfrac{1}{2n\pi+\frac{\pi}{2}} \end{aligned} \]

那么

\[\lim\limits_{n\to+\infty}a_n=\lim\limits_{n\to+\infty}b_n=0 \]

故

\[\begin{aligned} \lim\limits_{x_0\to 0}f(x_0)&=\lim\limits_{n\to+\infty}f(a_n)\\ &=\lim\limits_{n\to+\infty}\sin 2n\pi\\ &=0\\ \lim\limits_{x_0\to 0}f(x_0)&=\lim\limits_{n\to+\infty}f(b_n)\\ &=\lim\limits_{n\to+\infty}\sin \left(2n\pi+\dfrac{\pi}{2}\right)\\ &=1 \end{aligned} \]

因为 \(0\neq1\)，所以 \(f(x)\) 在 \(x_0=0\) 处无极限。

Q2

已知

\[f(x)= \begin{cases} 2x^2+ax&x\le 1\\ x+\dfrac bx&x>1 \end{cases} \]

如果 \(\lim\limits_{x\to 1}f(x)=3\)，求 \(a,b\) 的值。

显然 \(\lim\limits_{x\to 1}f(x)=3\iff\lim\limits_{x\to 1^-}f(x)=\lim\limits_{x\to 1^+}f(x)=3\)。

\[\begin{cases} \lim\limits_{x\to 1^-}f(x)=\lim\limits_{x\to 1^-}(2x^2+ax)=a+2=3\\ \lim\limits_{x\to 1^+}f(x)=\lim\limits_{x\to 1^+}\left(x+\dfrac bx\right)=b+1=3 \end{cases} \]

所以

\[\begin{cases} a=1\\ b=2 \end{cases} \]