LGP1313 题解

• 原题链接：P1313 [NOIP2011 提高组] 计算系数。

• 难度：Easy。

考察二项式定理的基本应用。

正解

发现存在式子 \((ax+by)^k\)，容易想到二项式定理。

二项式定理：

\[(x+y)^n=\sum\limits_{i=0}^{n}{n\choose i}x^iy^{n-i} \]

令 \(p=ax,q=by\)，那么原式变为 \((p+q)^k\)。

那么此时 \(p^n\times q^m\) 的系数为 \({k\choose n}\)。

这一项即为：

\[{k\choose n}p^nq^m=\left({k\choose n}a^nb^m\right)x^ny^m \]

综上，系数就是 \({k\choose n}a^nb^m\)。

\({k\choose n}\) 有很多种方法求解，这里使用公式法。

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
const int MOD = 10007;
const int N = 1e3 + 10;

int a, b, k, n, m, fact[N], inv_fact[N];

int qpow(int a, int b) {
  int ans = 1;
  a %= MOD;
  for (; b; b >>= 1) {
    if (b & 1) (ans *= a) %= MOD;
    (a *= a) %= MOD;
  }
  return ans;
}

void init() { // 预处理
  fact[0] = inv_fact[0] = 1;
  for (int i = 1; i <= k; ++i) {
    fact[i] = fact[i - 1] * i % MOD;
    inv_fact[i] = inv_fact[i - 1] * qpow(i, MOD - 2) % MOD;
  }
}

int C(int n, int m) {
  if (m > n) return 0;
  if (m == n) return 1;
  return fact[n] * inv_fact[m] % MOD * inv_fact[n - m] % MOD;
}

signed main() {
  std::cin >> a >> b >> k >> n >> m, init();
  std::cout << C(k, n) * qpow(a, n) % MOD * qpow(b, m) % MOD << std::endl;
  return 0;
}