LGB3717 题解

• 原题链接：B3717 组合数问题。

• 难度：Easy

组合数学的模板题。

排除做法：

• \(n,m\le5\times10^6\)，显然不能使用杨辉三角递推。
• 模数为 \(998,244,353\)，无法使用 \(\text{Lucas}\) 定理。

正解

考虑直接使用组合数的计算式：

\[{n\choose m}=\dfrac{n!}{m!(n-m)!} \]

其中 \(n!\) 可以直接线性递推。

对于 \(\dfrac{1}{i!}\) 可以先线性递推出每个数的逆元（详见 乘法逆元），然后从前往后像 \(n!\) 那样递推即可，详见代码。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using lint = long long;
const int MAXN = 5e6 + 10;
const int MOD = 998244353;

int T, N;
lint n, m, ans, inv[MAXN], fact[MAXN], inv_fact[MAXN];

void init() {
  inv[0] = inv[1] = 1;
  for (int i = 2; i <= N; ++i) // 线性递推 1~N 的逆元
    inv[i] = (MOD - MOD / i) * inv[MOD % i] % MOD;
  fact[0] = inv_fact[0] = 1;
  for (int i = 1; i <= N; ++i) {
    fact[i] = fact[i - 1] * i % MOD;
    inv_fact[i] = inv_fact[i - 1] * inv[i] % MOD;
  }
}

lint C(int n, int m) { // 根据公式计算
  if (m > n) return 0;
  if (m == n) return 1;
  return fact[n] * inv_fact[m] % MOD * inv_fact[n - m] % MOD;
}

int main() {
  std::cin.tie(0)->sync_with_stdio(0); // 加速读入
  std::cin >> T >> N, init();
  while (T--) {
    std::cin >> n >> m;
    ans ^= C(n, m);
  }
  std::cout << ans << std::endl;
  return 0;
}