费马小定理

定理

如果

\[p\in \mathbb{P}\,\, \operatorname{and}\,\, p\not\mid a \]

那么有

\[a^{p-1}\equiv 1\pmod p \]

证明

引理 1

若 \(a\cdot c\equiv b\cdot c\pmod m\) 且 \(c\perp m\)，则 \(a\equiv b\pmod m\)。

证明 1

\(a\cdot c\equiv b\cdot c\pmod m\) 可得 \((a-b)\times c\equiv 0\pmod m\)，又因为 \(c\perp m\)，那么 \((a-b)\times c\) 当且仅当 \(a-b\) 是 \(m\) 的倍数即 \(a-b\equiv 0\pmod m\)，即可得 \(a\equiv b\pmod m\)。

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引理 2

若 \(a\perp m\)，则 \(\{a,2a,3a,\dots,(m-1)a\}\) 是一个模 \(m\) 的完全剩余系。

证明 2

考虑使用反证法。

假设 \(\exists\,i,j\in[1,m-1]\,\,\operatorname{and}\,\,i\not=j\) 使得 \(i\times a\equiv j\times a\pmod m\)，又因为 \(a\perp m\)，根据 引理 1，可得 \(i\equiv j\pmod m\)，而 \(i,j\in[1,m-1]\)，所以 \(i\equiv j\pmod m\) 当且仅当 \(i=j\)，与假设矛盾，故得证。

由上述引理，可知 \(\{1,2,3,\dots,p-1\}\) 与 \(\{a,2a,3a,\dots,(p-1)a\}\) 均为模 \(p\) 的完全剩余系，那么将两个集合内部元素分别相乘，可得

\[(p-1)!\equiv(p-1)!\times a^{p-1}\pmod p \]

又因为 \(p\in\mathbb{P}\)，所以 \(\varphi(p)=p-1\)，故可得 \(p\perp (p-1)!\)，根据 引理 1，两边同时约去 \((p-1)!\)，可知

\[a^{p-1}\equiv 1\pmod p \]

证毕。