万能欧几里得算法

万能欧几里得算法

一个很 nb 的东西，可以求解基本上见不到的 \(\sum^{i=1}_{n}f(x)a^xg(y)b^y\ (y=\lfloor \frac{px+r}{q}\rfloor)\)

将其丢到 \(y=\lfloor \frac{px+r}{q}\rfloor\) 的平面几何上思考，维护一个矩阵，遇到横线乘 \(U\) ，遇到竖线乘 \(R\)

将得到一个包含 \(U\) 和 \(R\) 的序列，考虑快速求解

形式化的描述，有 \(l\) 个 \(R\) 的 \(U,R\) 矩阵，以 \(R\) 结尾，第 \(x\) 个 \(R\) 前有 \(y=\lfloor \frac{px+r}{q}\rfloor\)，求矩阵乘积。

当 \(p \ge q\) 时，每个 \(R\) 前都有 \(\lfloor \frac{p}{q}\rfloor\) 个 \(U\) ，进行合并：

\[likegcd(p,q,r,l,U,R)=likegcd(p \% q,q,r,l,U,U^{\lfloor \frac{p}{q}\rfloor}R) \]

当 \(p < q\) 时，考虑第 \(y\) 个 \(U\) 前有多少个 \(R\) ，进行翻转：

\[likegcd(p,q,r,l,U,R)=R^{\lfloor \frac{q-r-1}{p}\rfloor}U \times likegcd(q,p,(q−r−1)\%p,cntS−1,R,U) \times R^{l-\lfloor\frac{qcntS-r-1}{p}\rfloor} \]

例题：

luoguP5170【模板】类欧几里得算法

loj#6440 万能欧几里得