题解：AT_abc458_e [ABC458E] Count 123

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题目大意

用 \(X_1\) 个 \(1\)，\(X_2\) 个 \(2\) 和 \(X_3\) 个 \(3\) 组成一个序列，要求相邻两个数 \(a_i\) 和 \(a_{i+1}\) 的绝对值之差 \(|a_{i+1}-a_i| \leq 1\)。

思路

分析条件

注意到 \(|a_{i+1}-a_i| \leq 1\) 意味着：

• \(1\) 和 \(2\) 可以相邻（因为 \(|1-2|=1\)）
• \(2\) 和 \(3\) 可以相邻（因为 \(|2-3|=1\)）
• \(1\) 和 \(3\) 不能相邻（因为 \(|1-3|=2\)）

因此，构造出的序列中相邻的 \(1\) 和 \(3\) 之间必须用 \(2\) 隔开。

---

所以，我们可以把 \(2\) 当作隔板，把 \(X_2\) 个 \(2\) 排成一排如下：

\(\_,2,\_,2,\_,\dots,\_2,\_,2,\_\)

这 \(X_2\) 个 \(2\) 总共形成了 \(X_2+1\) 个空隙，每个空隙都可以放若干个 \(1\) 或若干个 \(3\)，但是 \(1\) 和 \(3\) 不能出现在同一个空隙中。

组合计数

考虑组合计数。

设 \(s=X_2+1\)，表示空隙总数。

枚举 \(i\) 满足 \(1 \leq i \leq \min(X_1,s)\)，\(j\) 满足 \(1 \leq j \leq \min(X_3,s-i)\)。

接下来可以分四步计算。

1.选空隙

从 \(s\) 个空隙中选择 \(i\) 个放 \(1\)，剩余 \(s-i\) 个中选 \(j\) 个放 \(3\)：

\[\binom{s}{i} \cdot \binom{s-i}{j} \]

2.分配 \(1\)

隔板法。

把 \(X_1\) 个 \(1\) 放入 \(i\) 个非空盒子：

\[\binom{X_1-1}{i-1} \]

3.分配 \(3\)

把 \(X_3\) 个 \(3\) 放入 \(j\) 个非空盒子：

\[\binom{X_3-1}{j-1} \]

4.求总方案数

总方案数即：

\[\sum_{i=1}^{\min(X_1,s)} \sum_{j=1}^{\min(X_3,s-i)} \binom{s}{i} \binom{s-i}{j} \binom{X_1-1}{i-1} \binom{X_3-1}{j-1} \]

优化

上述公式显然超时，考虑优化掉内层循环。

定义：

\[g[r] = \sum_{j=1}^{\min(X_3,\, r)} \binom{r}{j} \cdot \binom{X_3 - 1}{j - 1} \]

其中 \(r\) 为可用的空隙数量（\(r=X_2+1-i=s-i\)）

含义：有 \(r\) 个空隙，把 \(X_3\) 个 \(3\) 放入其中（可不放一些空隙）的方案数。

则：

\[\sum_{i=1}^{\min(X_1,s)} \sum_{j=1}^{\min(X_3,s-i)} \binom{s}{i} \binom{s-i}{j} \binom{X_1-1}{i-1} \binom{X_3-1}{j-1}=\sum_{i=1}^{\min(X_1,s)} \sum_{j=1}^{\min(X_3,s-i)} \binom{s}{i} \binom{X_1-1}{i-1} \cdot g[r] \]

令 \(t=j-1\)：

\[g[r]=\sum_{t=0}^{\min(X_3-1, r-1)} \binom{r}{t+1} \binom{X_3-1}{t} \]

由于 \(\binom{r}{t+1} = \binom{r}{r-1-t}\)，所以：

\[g[r]=\sum_{t} \binom{r}{r-1-t} \binom{X_3-1}{t} \]

考虑使用范德蒙德卷积：

\[\sum_{i=0}^k \binom{n}{i} \binom{m}{k-i}=\binom{n+m}{k} \]

此处：

• \(n=r\)
• \(m=X_3-1\)
• \(k=r-1\)

所以：

\[g[r]=\binom{r+X_3-1}{r-1} \]

总方案数：

\[\sum_{i=1}^{\min(X_1,s)} \binom{s}{i} \binom{X_1-1}{i-1} \binom{r+X_3-1}{r-1} \]

所以，在线性时间复杂度内就可求出答案。

---

特殊情况

• 若 \(X_3=0\)，则内层的贡献必然始终为 \(1\)。每次加上 \(\sum_{i=1}^{\min(X_1,s)} \binom{s}{i} \binom{X_1-1}{i-1}\) 即可。
• 若 \(X_1=0\)，与 \(X_3=0\) 同理。
• 若 \(r=0\)（即 \(i=s\)）
  • 若 \(X_3=0\)，则 \(g[0]=1\)。
  • 若 \(X_3 \neq 0\)，则 \(g[0]=0\)。

代码

AC Code

#include <iostream>
#define int long long
using namespace std;
const int p=998244353;
int ksm(int a,int b,int MOD)
{
	int res=1;
	while(b)
	{
		if(b&1)
		{
			res=(res*a)%MOD;
		}
		a=(a*a)%MOD;
		b>>=1;
	}
	return res;
}
int f[2000005],fn[2000005],x1,x2,x3,ans,x,g,s;
int c(int n,int m)
{
	if(m<0||m>n)
	{
		return 0;
	}
	return f[n]*fn[m]%p*fn[n-m]%p;
}
signed main()
{
	f[0]=1;
	for(int i=1;i<=2000000;i++)
	{
		f[i]=f[i-1]*i%p;
	}
	fn[2000000]=ksm(f[2000000],p-2,p);
	for(int i=1999999;i>=0;i--)
	{
		fn[i]=fn[i+1]*(i+1)%p;
	}
	cin >> x1 >> x2 >> x3;
	s=x2+1;
	for(int i=1;i<=min(x1,s);i++)
	{
		x=s-i;
		if(x<0)break;
		x=c(s,i)*c(x1-1,i-1)%p;
		if(x3==0)
		{
			ans=(ans+x)%p;
		}
		else
		{
			if(s-i==0)
			{
				g=(x3==0?1:0);
			}
			else
			{
				g=c(s-i+x3-1,s-i-1);
			}
			ans=(ans+x*g)%p;
		}
	}
	cout << ans;
	return 0;
}