题解：P13998 【MX-X19-T7】「LAOI-14」夜に駆ける

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题意简述

构造一个 \(n\) 行 \(m\) 列（\(m\) 为偶数）的矩阵使得：

• 每行恰好有 \(\frac{m}{2}\) 个 \(0\) 和 \(\frac{m}{2}\) 个 \(1\)。
• 有一个机器人从 \((1,1)\) 出发，每次可向左/右一步或不动，然后向下走一格。
• 机器人会选择经过格子之和最大的路径。

要求最小化这个最大路径和，输出构造出来的矩阵。

思路

设机器人当前处于第 \(i\) 行，则显然它能到达列的范围是 \([1,\min(i+1,m)]\)。

第一部分（\(1 \leq i \leq \frac{m}{2}-1\)）

为使机器人经过的格子中 \(1\) 的个数最少，考虑在机器人无法到达时将右侧的 \(\frac{m}{2}\) 个格子全都放上 \(1\)，其余放 \(0\)。此时显然满足 \(1 \leq i \leq \frac{m}{2}-1\)。

代码如下：

if(i+1<=m/2)
{
    for(int k=m;k>m/2;k--)
    {
        a[i][k]=1;
    }
    continue;
}

第二部分（\(\frac{m}{2} \leq i < m\)）

此时显然不能继续刚才右侧全放 \(1\) 的策略，这样只会让机器人拿到更多的 \(1\)。

由刚才思路的启发，依然可以在右侧的一部分放上 \(1\)，前提是机器人无法到达，所以可在 \(i+2 \sim m\) 列放上 \(1\)。

那剩下没放的 \(1\) 怎么办？

由于机器人在 \(1\) 行中最多只能左右移动 \(1\) 步，所以只需要间隔着放 \(1\) 即可使机器人在当前行不连续拿到 \(1\)。

代码，注意到达右边放 \(1\) 的地方时回头重新放：

y=i+1-m/2;
for(int k=m;k>i+1;k--)
{
    a[i][k]=1;
}
while(y>0)
{
    x+=2;
    if(x>i+1)
    {
        x=1;
    }
    a[i][x]=1;
    y--;
}

接下来进入下一行。我们需要跨行错开 \(1\) 的位置。

举个例子：

假设第 \(i\) 行放的间隔的 \(1\) 位于 \(2,4,6\)：

• 当前列 \(x\) 还在最后一个放的位置 \(6\)。
• \(x+2\) 后从第 \(8\) 列开始放。

我们发现，机器人拿到位置 \(6\) 的 \(1\) 后会选择向右，向下，再向右。此时它又拿到了位置 \(8\) 的 \(1\)，显然不优。为使机器人不连续拿到 \(1\)，只需使 \(x+1\) 即可。

第三部分（\(i \geq m\)）

这种情况无法按前两部分的方法在右侧放 \(1\)。

但是每一行仍需放置 \(\frac{m}{2}\) 个 \(1\)。所以，我们应在无法避免的情况下尽可能地少让机器人连续拿到 \(1\)。

所以我们应避免出现连续的 \(1\)，此时行内交替放 \(1\) 即可：

if(i>=m)
{
    for(int k=1;k<=m;k++)
    {
        a[i][k]=k%2;
    }
    continue;
}

代码

AC Code

#include <iostream>
using namespace std;
int n,m,a[5005][5005],x=-1,y;
int main()
{
    cin >> n >> m;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(i+1<=m/2)
        {
            for(int k=m;k>m/2;k--)
            {
                a[i][k]=1;
            }
            continue;
        }
        else if(i>=m)
        {
            for(int k=1;k<=m;k++)
            {
                a[i][k]=k%2;
            }
            continue;
        }
        y=i+1-m/2;
        for(int k=m;k>i+1;k--)
        {
            a[i][k]=1;
        }
        while(y>0)
        {
            x+=2;
            if(x>i+1)
            {
                x=1;
            }
            a[i][x]=1;
            y--;
        }
        x++;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            cout << a[i][j] << " ";
        }
        cout << "\n";
    }
    return 0;
}