全概率公式、贝叶斯公式推导过程

 

(1)条件概率公式

        设A,B是两个事件,且P(B)>0,则在事件B发生的条件下,事件A发生的条件概率(conditional probability)为:

                     P(A|B)=P(AB)/P(B)

 

(2)乘法公式

         1.由条件概率公式得:

                       P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)    

             上式即为乘法公式;

         2.乘法公式的推广:对于任何正整数n≥2,当P(A1A2...An-1) > 0 时,有:

                 P(A1A2...An-1An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)...P(An|A1A2...An-1)

                 

  (3)全概率公式

        1. 如果事件组B1,B2,.... 满足

               1.B1,B2....两两互斥,即 B∩ B= ∅ ,i≠j , i,j=1,2,....,且P(Bi)>0,i=1,2,....;

               2.B1∪B2∪....=Ω ,则称事件组 B1,B2,...是样本空间Ω的一个划分

          设 B1,B2,...是样本空间Ω的一个划分,A为任一事件,则:

 

           上式即为全概率公式(formula of total probability)

       2.全概率公式的意义在于,当直接计算P(A)较为困难,而P(Bi),P(A|Bi)  (i=1,2,...)的计算较为简单时,可以利用全概率公式计算P(A)。思想就是,将事件A分解成几个小事件,通过求小事件的概率,然后相加从而求得事件A的概率,而将事件A进行分割的时候,不是直接对A进行分割,而是先找到样本空间Ω的一个个划分B1,B2,...Bn,这样事件A就被事件AB1,AB2,...ABn分解成了n部分,即A=AB1+AB2+...+ABn, 每一Bi发生都可能导致A发生相应的概率是P(A|Bi),由加法公式得

         P(A)=P(AB1)+P(AB2)+....+P(ABn)

               =P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+...+P(A|Bn)P(PBn)

        3.实例:某车间用甲、乙、丙三台机床进行生产,各台机床次品率分别为5%,4%,2%,它们各自的产品分别占总量的25%,35%,40%,将它们的产品混在一起,求任取一个产品是次品的概率。

                解:设.....     P(A)=25%*5%+4%*35%+2%*40%=0.0345

 

    (4)贝叶斯公式

      1.与全概率公式解决的问题相反,贝叶斯公式是建立在条件概率的基础上寻找事件发生的原因(即大事件A已经发生的条件下,分割中的小事件Bi的概率),设B1,B2,...是样本空间Ω的一个划分,则对任一事件A(P(A)>0),有

               

         上式即为贝叶斯公式(Bayes formula),B常被视为导致试验结果A发生的”原因“,P(Bi)(i=1,2,...)表示各种原因发生的可能性大小,故称先验概率;P(Bi|A)(i=1,2...)则反映当试验产生了结果A之后,再对各种原因概率的新认识,故称后验概率。

      2.实例:发报台分别以概率0.6和0.4发出信号“∪”和“—”。由于通信系统受到干扰,当发出信号“∪”时,收报台分别以概率0.8和0.2受到信号“∪”和“—”;又当发出信号“—”时,收报台分别以概率0.9和0.1收到信号“—”和“∪”。求当收报台收到信号“∪”时,发报台确系发出“∪”的概率。

         解:设...., P(B1|A)= (0.6*0.8)/(0.6*0.8+0.4*0.1)=0.923

 

posted @ 2016-06-30 16:11  ohshit  阅读(121031)  评论(5编辑  收藏