跑步（简易版） 题解

#5285. YAOI Round #26 (Div.1+Div.2) C. 跑步（简易版）

---

解法 1

跑道上在两个人之间选一个位置，使得自己有最长的时间不与他们相遇。

根据题目条件，很容易发现自己与 A 相距 \(y\)，与 B 相距 \(x-y\)。

因此自己与 A 相遇的时间即为 \(\dfrac{y}{v_1-v_0}\)，与 B 相遇的时间为 \(\dfrac{x-y}{v_0-v_2}\)。题目求与两人中任意一人相遇的时间最长，可以转换为使这两个等式相等（即同时相遇，时间为最长的）（基础的小学数学）。因此简单地推推柿子：

\[\begin{aligned}\\ \dfrac{y}{v_1-v_0} &= \dfrac{x-y}{v_0-v_2}\\ y \times (v_0-v_2) &= (x-y) \times (v_1-v_0)\\ y \times (v_0-v_2+v_1-v_0) &= x \times (v_1-v_0)\\ y \times (v_1-v_2) &= x \times (v_1-v_0)\\ y &= \dfrac{x \times (v_1-v_0)}{(v_1-v_2)}\\ \end{aligned}\]

得到 \(y = \dfrac{x \times (v_1-v_0)}{(v_1-v_2)}\)，而等式右边所有的量都是已知的，因此可以直接代入计算。

---

解法 2

如果上面推柿子看不懂的可以来看看这种解法。

首先我们拿样例出来手推一下答案：

y	4	8	12	16	20	24	28
ans（追及时间）	1	2	3	4	5	3	1

把得到的结果画一个图出来，可以发现是一个单峰函数（中间凸起，最高点左侧单调上升，右侧单调下降）。因此我们可以直接三分或者使用爬山算法（两种很常用的算法，尤其是后者和模拟退火，建议自行学习）。

---

代码

公式

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main(){
	double x,v0,v1,v2;
    scanf("%lf%lf%lf%lf",&x,&v0,&v1,&v2);
	printf("%.4lf",x*(v1-v0)/(v1-v2));
	return 0;
}

三分

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int x,v0,v1,v2;
double l,r,mid,eps=1e-6;

double getans(double y){
	return min(y/(v1-v0),(x-y)/(v0-v2));
}

int main(){
	scanf("%d%d%d%d",&x,&v0,&v1,&v2);
	l=0,r=x;
	while(r-l>=eps){
		mid=(l+r)/2;
		if(getans(mid-eps)<getans(mid+eps))l=mid;
		else r=mid;
	}
	printf("%.4lf",mid);
	return 0;
}