华为OD机考双机位C卷 - 书籍叠放 （Java & Python & JS & GO & C++ & C）

书籍叠放

2026华为OD机试双机位C卷 - 华为OD上机考试双机位C卷

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题目描述

书籍的长、宽都是整数对应(l,w)。如果书A的长宽度都比B长宽大时，则允许将B排列放在A上面。

现在有一组规格的书籍，书籍叠放时要求书籍不能做旋转，请计算最多能有多少个规格书籍能叠放在一起。

​

输入描述

输入：books = [[20,16],[15,11],[10,10],[9,10]]

说明：总共4本书籍，第一本长度为20宽度为16；第二本书长度为15宽度为11，依次类推，最后一本书长度为9宽度为10.

输出描述

输出：3

说明: 最多3个规格的书籍可以叠放到一起, 从下到上依次为: [20,16],[15,11],[10,10]

示例1

输入

[[20,16],[15,11],[10,10],[9,10]]

输出

3

说明

解题思路

题目分析

题目要求我们计算一组书籍最多能叠放多少本。
叠放的条件是：上面书籍的长和宽必须严格小于下面书籍的长和宽。
也就是说，如果书 A 放在书 B 上面，必须满足：A.length < B.length 且 A.width < B.width。
这是一个典型的二维偏序问题，可以转化为最长递增子序列 (LIS) 问题来求解。

解题策略

为了简化问题，我们可以先固定一个维度，然后再在另一个维度上求解 LIS。

1. 排序：
   首先，我们将所有书籍按照长度 (length) 从小到大进行排序。
   这样一来，对于排在后面的书 B 和前面的书 A，B 的长度一定大于等于 A 的长度。

   • 处理长度相同的情况：如果两本书长度相同，比如 [10, 5] 和 [10, 8]，如果不做特殊处理，直接按宽度求 LIS，可能会出现选取了 [10, 5] 然后选取 [10, 8] 的情况（因为 $5 < 8$）。
   • 但实际上，长度相同的书是不能相互叠放的。
   • 技巧：当长度相同时，我们按照宽度 (width) 从大到小排序。
   • 原因：假设排序后是 [10, 8], [10, 5]。我们在求宽度的最长递增子序列时，由于 $8 > 5$，这两个数不可能同时被选入一个严格递增的序列中。这就保证了长度相同的书不会被同时选中。

2. 转化为 LIS 问题：
   经过上述排序后，对于任意选取的两本书 $i$ 和 $j$（$i < j$）：

   • 必然满足 books[i].length <= books[j].length。
   • 如果 books[i].length == books[j].length，则根据排序规则，books[i].width >= books[j].width，此时书 $j$ 不能放在书 $i$ 上面（因为需要严格小于，且这里我们是寻找能叠放的序列，实际上是找一个子序列使得长宽都单调递增）。
   • 注意：原题描述是从下往上叠，还是从上往下叠？
     • 题目说“如果书A的长宽度都比B长宽大时，则允许将B排列放在A上面”。即大的在下面，小的在上面。
     • 我们可以反过来思考，找一个序列，使得从上到下长和宽都严格递增。
   • 根据我们的排序（长升序，长同宽降序），我们只需要在宽度数组中寻找最长严格递增子序列 (LIS)。
   • 为什么？
     • 假设我们在宽度数组中找到了一个递增子序列 $w_{i_1}, w_{i_2}, \dots, w_{i_k}$，其中 indices $i_1 < i_2 < \dots < i_k$。
     • 对于任意相邻的两个元素 $p$ and $q$ ($p$ 在 $q$ 前面)，有 $w_p < w_q$。
     • 由于 $p$ 在 $q$ 前面，根据主排序规则：$L_p \le L_q$。
     • 如果 $L_p == L_q$，根据次排序规则（宽降序），必有 $w_p \ge w_q$。但这与 $w_p < w_q$ 矛盾。
     • 因此，必须有 $L_p < L_q$。
     • 结论：只要在排序后的数组中找到宽度的严格递增子序列，其对应的长度也一定是严格递增的。

3. 计算 LIS：

   • 可以使用动态规划，时间复杂度 $O(N^2)$。
   • 更优的方法是使用贪心 + 二分查找，时间复杂度 $O(N \log N)$。
   • 维护一个 tails 数组，tails[i] 表示长度为 i+1 的递增子序列的最小尾部元素。
   • 遍历每个宽度 $w$：
     • 如果 $w$ 大于 tails 的末尾元素，直接追加。
     • 否则，用二分查找在 tails 中找到第一个大于等于 $w$ 的元素并替换之。

复杂度分析

• 时间复杂度：排序 $O(N \log N)$，计算 LIS $O(N \log N)$。总复杂度 $O(N \log N)$。
• 空间复杂度：需要存储书籍和 LIS 辅助数组，为 $O(N)$。