第十章 第二节 三重积分（同济版）

第二节 三重积分

一.三重积分的概念

引入——密度函数u(x,y,z)，在空间有限闭区域内分布着某种不均匀的物质，求其质量。

我们还是那个思想——”无限分割近似求和取极限“

那么：
$$\begin{gathered} M=M_1+M_2+...+M_n=\mu (x_1,y_1,z_1)V_1+\mu (x_2,y_2,z_2)V_2+...+\mu (x_n,y_n,z_n)V_n \\ =\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{k=1}^n\mu ({\alpha }_k,{\beta }_k,{\gamma }_k)\Delta V_k \end{gathered}$$
所以：
$$M={\iiint }_{\Omega }f(x,y,z)dv=\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{k=1}^n\mu ({\alpha }_k,{\beta }_k,{\gamma }_k)\Delta V_k$$
其中，dv叫做体积元素。

二.三重积分的计算

1.利用直角坐标系计算三重积分

（先线性规划框出区域，然后依次定量求积分）

（1）投影法（先一后二）

设积分区域:
$$\Omega$$
设积分区域向xOy面的投影区域为：
$$D_{xy}$$
那么积分区域可以表示为：
$$Q\{\begin{array}{c}(x,y)\in D_{xy}\\ z_1(x,y)\le z\le z_2(x,y)\end{array}$$
同二重积分的道理，先令x，y为常数，然后在对应的[z_1,z_2]上积分，最后就剩下对x，y的二重积分：
$$f(x,y)={\int }_{z_1(x_0,y_0)}^{z_2(x_0,y_0)}\mu (x_0,y_0,z)dz$$
最后对f(x,y)进行二重积分：
$$\begin{gathered} M={\iint }_{D_{xy}}f(x,y)d\sigma ={\iint }_{D_{xy}}[{\int }_{z_1(x_0,y_0)}^{z_2(x_0,y_0)}\mu (x_0,y_0,z)dz]d\sigma \\ ={\int }_a^{b}dx{\int }_{y_{2}x}^{y_1(x)}dy{\int }_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y,z)dz \end{gathered}$$

（2）截面法（先二后一）

截面法的**”框范围“的方法与投影法有些不同，它会向z轴做一个投影得到一个投影区间**，具体表示如下：
$$\Omega \{\begin{array}{c}p\le z\le q\\ (x,y)\in D_z\end{array}$$
注意，D_z是会随着z的变化而变化

先令z=z_0,然后u就变成了一个关于x，y的函数，对xy截面进行积分，相当于求得**”面密度“**，最后再z进行积分：
$$M={\iiint }_{\Omega }{z}^{2}dxdydz={\int }_p^q{z}^{2}dz{\iint }_{D_z}dxdy$$

注意：

​ 1.还是二重积分的老问题——看自己写出来的范围能不能框得住目的范围（常犯错误：表示出的区域是一个立方体）；

​ 2.严格执行”先一后二“和”先二后一“得原则，避免由计算顺序导致的出错。

2.利用极坐标计算三重积分（跟二重积分一样的道理）

引入：柱坐标

体积元素的推导：

​ 体积元素的推导与二重积分相似，详情请见第二节。
$$dv=\rho d\rho d\theta dz$$
所以我们可以得到极坐标表示的三重积分为：
$$M={\iiint }_{\Omega }F(r,\theta ,z)\rho d\rho d\theta dz$$