大学物理第四章笔记——高等农林院校基础课程教程系列

第四章 静电场

文章目录

• 第四章 静电场
• • 第一节 电荷 库仑定律
  • • 一.电荷及其性质
    • 二.库仑定律
  • 第二节 电场 电场强度
  • • 一.电场
    • 二.电场强度
    • 三.场强叠加原理
    • 四.场强叠加原理的应用
    • • 例题1
      • 例题2
      • 例题3
      • 例题4
      • 例题5
      • 例题6
  • 第三节 静电场中的高斯定律
  • • 一.电通量
    • • 1.电场线
      • 2.电通量
      • 3.高斯定律（特殊——一般）
    • 二.高斯定律的应用
    • • • 例题1
        • 例题2
        • 例题3————*补偿法*（同2理）
        • 例题4————高斯面放缩法
        • 例题5
        • 例题6
  • 第四节 静电场中的环路定律 电势
  • • 一.静电场的环路定理
    • • 1.单个点电荷产生的电场：
      • 2.多个点电荷（带电体系）产生的电场
      • 3.环路定理：静电场中电场强度沿任意闭合路径的线积分等于零。
    • 二.电势 电势差
    • • 1.定义
      • 2.计算式
      • 3.电势叠加原理——标量叠加
    • 三.例题
    • • 例题1（球面）
      • 例题2(球体)
      • 例题3（无限长空间线+不能“无限选无限”的原因）
      • 例题4
    • 四.电势与电场强度的关系
  • 第五节 静电场中的导体 电容
  • • 一.静电场中的导体
    • • 1.静电感应现象
      • 2.处于静电平衡状态的导体性质
      • 3.静电屏蔽
    • 二.孤立导体的电容
    • 三.电容器的电容
    • • 1.平行电容器
      • 2.球形电容器
      • 3.柱形电容器
      • 4.电容器串并联
  • 第六节 静电场中的介质
  • • 一.电介质的极化
    • 二.电介质中的电场
    • 三.电介质中的高斯定律

第一节 电荷 库仑定律

一.电荷及其性质

1. 正负性：同性相斥，异性相吸。等量的正、负电荷相遇后，对外不再呈电性，这种现象叫做电中和。

2. 守恒性：在一个孤立系统中，总电荷量不变。

3. 量子性：
   $$\begin{gathered} Q=ne(n=1,-1,2,-2,......) \\ e=1.602176462\times 10^{-19}C \end{gathered}$$

4. 相对论不变性：

   一个电荷的电量与下面的几个因素无关：

• 运动状态
• 电荷运动速度
• 参考系

二.库仑定律

1. 点电荷：如果一个带电体：

   （1）大小、形状可以忽略

   （2）可以视作一个带点的几何体

   那么它就是点电荷。

2. 库仑定律：在真空中两个**静止点电荷之间的静电作用力（F）与这两个点电荷所带电量的乘积（Q1Q2）成正比，与它们之间距离的平方（r^2）成反比，作用力的方向沿着两个点电荷的连线**。
   

   $$\begin{gathered} F_{12}=k\frac{q_1{q}_2}{r^2}e(e为与F_{12}同方向的单位向量) \\ {F}_{21}=k\frac{q_1{q}_2}{r^2}e(e为与F_{21}同方向的单位向量) \end{gathered}$$
   注意:

   （1）库仑定律中的比率系数k:
   $$\begin{gathered} k=\frac{1}{2\pi {ϵ}_0}({ϵ}_0为真空的介电常数) \\ ϵ=8.85418782\times 10^{-12}(C^2.N^{-1}.m^2)或者(F.m^{-1}) \end{gathered}$$
   （2）库仑定律只适用于真空中静止的点电荷

   （3）库仑力满足牛顿第三定律

   （4）静电力既有引力也有斥力，而万有引力只是引力。

第二节 电场 电场强度

一.电场

引入：场是物质存在的一种形态。它是无形的，弥漫在整个空间；但它与物质一样具有能量。质量等基本属性。

二.电场强度

1.场源电荷Q：产生电场的电荷Q我们叫做场源电荷，所在位置叫做源点，图中的p点叫做检验电荷，所在位置叫做场点。

2.检验电荷q:

1. 带电量足够小
2. 可以看成一个质点

3.电场强度E：电场中某点的电场强度的大小等于单位点电荷在该点受力的大小，其方向与正点电荷在该点受力的方向相同。
$$E=\frac{F}{q_0}$$
注意：

（1）电场强度矢量是空间位置的函数
$$E=E(r)或者E=E(x,y,z)$$
（2）场强的定义是具有普遍的适用性（定义式）

三.场强叠加原理

1. 点电荷产生的电场——球对称分布电场（以源点为球心的球面上场强大小处处相等，场强方向与球面垂直）

2. 点电荷系产生的电场

3. $$E=\frac{F}{q_0}=\frac{{\sum }_{i=1}^n{F}_i}{q_0}=\sum _{i=1}^n{E}_i=\sum _{i=1}^n\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\frac{q_i}{r_i^2}{e}_i(矢量和)$$

4. 定义：点电荷系在某点P产生的电场强度等于各点电荷单独在该点产生的电场强度的矢量和。这一结论称为**电场强度叠加原理**。

四.场强叠加原理的应用

引入：电荷的连续分布包括线分布、面分布、体分布，通过引入电荷密度来描述三种电荷分布的不同。
$$dq=\{\begin{array}{c}\lambda dl(线分布)\\ \sigma dl(面分布)\\ \rho dV(体分布)\end{array}$$
我们一般会遇到两种应用情形:
$$\{\begin{array}{c}当点电荷系与检验电荷都在同一条直线上的时候——不需要用到矢量分解\\ E={\int }_q\frac{dq}{4\pi ϵr^2}e\\ 当点电荷系与检验电荷不在同一条直线上的时候——需要用到矢量分解\\ E=E_{x}i+E_{y}j+E_{z}k\end{array}$$

例题1

$$E_B=E_{+}+E_{-}(矢量和)=2E_{+}cos\theta$$
其中：
$$r_{+}=r_{-}=\sqrt{r^2+\frac{l^2}{4}}\approx r(r>>l)$$
则
$$E_B=\frac{q(r_{+}^{-}+r_{-}^{-})}{4\pi {ϵ}_0|r_{+}^3|}=\frac{1}{2\pi {ϵ}_0}\frac{qr}{(r^2+\frac{l^2}{4}{)}^{\frac{3}{2}}}$$

例题2

做题注意：

1. “均匀”说明可以通过，可以通过直接用电荷量除以长度得到密度值，这是一个隐含条件。
2. 库仑定律在电场中的使用条件：两个电荷距离远小于作用范围(r>>l)

首先我们得使用微分思想，对电荷量进行微分：
$$dq=\lambda dxdE=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\frac{\lambda dx}{r^2}$$
然后找到图中的几何关系来联系我们需要解决的未知物理量：
$$\begin{gathered} x=-acot\theta dx=acs{c}^2\theta d\theta \\ r=a/sin\theta r^2=a^{2}cs{c}^2\theta \end{gathered}$$
（这里的r与dx就是我们需要解决的物理量）
$$d{E}_x=\frac{\lambda }{4\pi {ϵ}_{0}a}cos\theta d\theta d{E}_x=\frac{\lambda }{4\pi {ϵ}_{0}a}sin\theta d\theta$$
最后利用上面的两个量进行积分，从而求出E_-:
$$\begin{gathered} E={\int }_{q}d{E}_x+{\int }_{q}d{E}_y={\int }_{{\theta }_1}^{{\theta }_2}\frac{\lambda }{4\pi {ϵ}_{0}a}cos\theta d\theta +{\int }_{{\theta }_1}^{{\theta }_2}\frac{\lambda }{4\pi {ϵ}_{0}a}sin\theta d\theta \\ =\frac{\lambda }{4\pi {ϵ}_{0}a}[(sin{\theta }_2-sin{\theta }_1)i^{-}+(cos{\theta }_1-cos{\theta }_2)j^{-}] \end{gathered}$$

那么我们就得到了一下结论公式：
$$E=\frac{\lambda }{4\pi {ϵ}_{0}a}[(sin{\theta }_2-sin{\theta }_1)i^{-}+(cos{\theta }_1-cos{\theta }_2)j^{-}]$$
关于这个公式，我们有一些推导：

1. 当L趋于无限长的时候，也就是说:
   $${\theta }_1=0{\theta }_2=\pi$$
   那么:
   $$E^{-}=E_y{j}^{-}=\frac{\lambda }{2\pi {ϵ}_{0}a}{j}^{-}$$
   那么我们可以发现E与在x方向上的电场分量没有关系，所以无限长的均匀带电直杆产生的电场是轴对称分布的。

2. 如果借由上面的推导，将电场放入三维空间中，并旋转一周

那么其电场分布特征为：

1. 正圆柱的侧面上的电场强度大小处处相等，方向与圆柱面垂直
2. 两底面的电场强度的方向与底面平行

例题3

解：

由题意，每一个电荷微元产生的电场强度dE：
$$d{E}^{-}=\frac{dq}{4\pi {ϵ}_0(a-x{)}^2}{i}^{-}$$
又由已知x与q的关系：
$$dq=\lambda dx$$
那么：对dE进行积分，积分变量为x
$$\begin{gathered} E^{-}=\frac{\lambda i^{-}}{4\pi {ϵ}_0}{\int }_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}\frac{dx}{(a-x{)}^2}=-\frac{\lambda i^{-}}{4\pi {ϵ}_0}{\int }_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}\frac{1}{(a-x{)}^2}d(a-x) \\ =\frac{\lambda i^{-}}{4\pi {ϵ}_0}\frac{1}{a-x}{|}_{-L/2}^{L/2}=\frac{q{i}^{-}}{\pi {ϵ}_0(4a^2-L^2)} \end{gathered}$$
所以，我们得到一个结论公式：
$$E^{-}=\frac{q{i}^{-}}{\pi {ϵ}_0(4a^2-L^2)}$$

例题4

解:

同例题三:
$$d{E}^{-}=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\frac{dq}{r^2}{e}^{-}$$
对E进行关于q的积分：
$$E^{-}={\int }_q\frac{dq}{4\pi {ϵ}_0{r}^2}cos\theta i^{-}=\frac{q\sqrt{r^2-R^2}}{4\pi {ϵ}_0{r}^3}{i}^{-}$$
由于
$$x^2+R^2=r^2$$
所以
$$E^{-}=\frac{qx}{4\pi {ϵ}_0(R^2+x^2{)}^{\frac{3}{2}}}{i}^{-}$$
关于这个结论公式，我们也有一些推导：

1. 当x=0时，E=0

2. 当x>>R时，
   $$E^{-}=\frac{qx{i}^{-}}{4\pi {ϵ}_0{x}^2}$$

3. $$当x=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}R时，E可以取极值$$

例题5

$$d{E}^{-}=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\frac{xdq{i}^{-}}{(r^2+x^2{)}^{\frac{3}{2}}}（这里我们直接用例题4的结论公式）$$
但由于这里是使用面密度类型计算：
$$dq=\sigma dS=\sigma 2\pi rdr$$
代入上上式子，则：
$$d{E}^{-}=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\frac{xdq{i}^{-}}{(r^2+x^2{)}^{\frac{3}{2}}}=\frac{x\sigma }{2{ϵ}_0}\frac{rdr{i}^{-}}{(r^2+x^2{)}^{\frac{3}{2}}}$$

最后对E进行r上的积分：
$$\begin{gathered} E^{-}={\int }_{q}d{E}^{-}=\frac{x\sigma i^{-}}{2{ϵ}_0}{\int }_q\frac{rdr}{(r^2+x^2{)}^{\frac{3}{2}}}=\frac{x\sigma i^{-}}{4{ϵ}_0}{\int }_q\frac{r}{(r^2+x^2{)}^{\frac{3}{2}}}d(r^2+x^2) \\ =\frac{\sigma x{i}^{-}}{2{ϵ}_0}[\frac{1}{\sqrt{x^2}}-\frac{1}{(x^2+R^2{)}^{1/2}}] \end{gathered}$$
所以得到一个结论公式：
$$E^{-}=\frac{\sigma x{i}^{-}}{2{ϵ}_0}[\frac{1}{\sqrt{x^2}}-\frac{1}{(x^2+R^2{)}^{1/2}}]$$
关于这个结论公式，我们也有一些推导：

1. 当x>>R时：
   $$E^{-}=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\frac{q}{x^2}{i}^{-}$$

2. 当x<<R时：
   $$\begin{gathered} \frac{1}{\sqrt{x^2}}-\frac{1}{\sqrt{x^2+R^2}}\approx \frac{1}{x} \\ {E}^{-}=\frac{\sigma x}{2{ϵ}_0}\frac{1}{x}=\frac{\sigma }{2{ϵ}_0}{i}^{-} \end{gathered}$$

上面两种情况分别说明了：

1. 库伦定律适用条件是x>>R。
2. 当x<<R时，电场强度与距离无关。

例题6

解：

这里我们依旧沿用例题4的公式：(圆环模型，不是圆面模型)
$$dq=\lambda dx{E}^{-}=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\frac{qx}{(R^2+x^2{)}^{3/2}}{i}^{-}$$
又由于电场力的微分求法：
$$d{F}^{-}=E^{-}dq=E^{-}\lambda dx$$
求F的关于x的积分:
$$\begin{gathered} F^{-}={\int }_0^L\frac{q\lambda xdx{i}^{-}}{4\pi {ϵ}_0(R^2+x^2{)}^{3/2}} \\ =\frac{q\lambda i^{-}}{4\pi {ϵ}_0}{\int }_0^L\frac{xdx}{(R^2+x^2{)}^{3/2}} \\ =\frac{q\lambda i^{-}}{4\pi {ϵ}_0}{\int }_0^L\frac{1}{(R^2+x^2{)}^{3/2}}\frac{1}{2}d(x^2+R^2) \end{gathered}$$
所以我们可以得到一个结论公式:
$$E^{-}=\frac{q\lambda i^{-}}{4\pi {ϵ}_0}(\frac{1}{R}-\frac{1}{\sqrt{R^2+L^2}})$$

第三节 静电场中的高斯定律

一.电通量

1.电场线

• 某点的场强方向与电场线在该点的切线方向一致

• 电场线不闭合、不中断、不相交（静电场中的每一点的场强方向是唯一的）

• 电场线来自正电荷终止于负电荷

• 场强大小等于电场线数密度：
  $$E=\frac{dN}{d{S}_y}（其中S_y是正垂直面积）$$

2.电通量

（1）矢量面元和穿过电场中面元ds的电通量：
$$\begin{gathered} d{S}^{-}=d|S^{-}|n^{-}（n^{-}是正切于面积元素的单位向量，一般我们定义它的方向是由弯曲的内凹面指向外凸面） \\ d{\Phi }_e=Ed{S}^{-} \end{gathered}$$

（2）穿过电场中不闭合曲面的电通量：
$${\Phi }_e={\int }_S{E}^{-}d{S}^{-}={\int }_S|E^{-}|cos\theta d|S^{-}|n^{-}$$
结合场强等于电场线密度的定义：
$${\Phi }_e={\int }_S{E}^{-}d{S}^{-}{\int }_{S}d{\Phi }_e={\int }_{S}dN=N$$

（3）穿过闭合曲面电通量

已知：
$${\Phi }_e={\int }_{S}d{\Phi }_e={\int }_S{E}^{-}d{S}^{-}$$

根据矢量面元的定义，我们便可以知道
$$\{\begin{array}{c}0\le \theta <\frac{\pi }{2},电通量为正\\ \frac{\pi }{2}<\theta \le \pi ,电通量为负\\ \theta =\frac{\pi }{2},电通量为0\\ \theta \in \varnothing (无接触)，电通量为0\end{array}$$
同时，总的电通量等于穿入、穿出闭合电场线线条数之差：
$${\Phi }_e={\int }_{S}d{\Phi }_e={\int }_S{E}^{-}d{S}^{-}=N_{穿出}-N_{穿入}$$

3.高斯定律（特殊——一般）

我们先来看一下比较特殊的情况：

（1）一个点电荷：
$${\Phi }_e={\int }_S{E}^{-}d{S}^{-}={\int }_S\frac{qdS}{4\pi {ϵ}_0}{e}^{-}{n}^{-}={\int }_S\frac{qdS}{4\pi {ϵ}_0}（e^{-}、n^{-}这两个单位向量相乘等于1）$$
又由于
$${\int }_{S}dS=S+C(常数)(我积分我自己的微分还是等于我自己)$$
所以
$${\Phi }_e=\frac{q}{4\pi {ϵ}_0}{S}_{表}=\frac{q}{4\pi {ϵ}_0{r}^2}4\pi r^2=\frac{q}{{ϵ}_0}$$

那么对于比较一般情况呢？

（2）穿过包围q的任意闭合面的电通量：

将这个公式作为根本计算公式：
$${\Phi }_e={\int }_S{E}^{-}d{S}^{-}$$
无限分割：(将这个不规则的曲面无限分割为n个小面，注意最好不要分为小圆，因为你根本不知道最后的结果是否与你的分法有关)
$$\begin{gathered} {\Phi }_e={\Phi }_1+{\Phi }_2+{\Phi }_3+.......{\Phi }_n=\sum _{i=1}^n{\Phi }_i \\ =\sum _{i=1}^n{E}_i{S}_i=\sum _{i=1}^n\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\frac{q}{r_i^2}{S}_i \end{gathered}$$
取极限：
$${\Phi }_{=}\underset{i\to \infty }{\lim }\sum _{i=1}^n\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\frac{q}{r_i^2}{S}_i={\int }_S\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\frac{q}{r^2}dS=\frac{q}{4\pi {ϵ}_0{r}^2}{\int }_{S}dS=\frac{q}{4\pi {ϵ}_0{r}^2}4\pi r^2=\frac{q}{{ϵ}_0}$$
所以我们发现就算是比较一般的曲面也是一样的结果，而且跟位置没有关系，只与闭合曲面包围的电荷电量(q)有关

（3）穿过不包围q的任意闭合曲面的电通量：穿入、穿出的电场线条数相等

很好理解，看图中，我穿入几条，它就出来几条。

（4）穿过任意闭合面的电通量：
$$\begin{gathered} {\Phi }_{=}{\int }_S{E}^{-}d{S}^{-}={\int }_S{\Phi }_{穿入}+{\int }_S{\Phi }_{穿出} \\ ={\int }_S(E_1^{-}+E_2^{-}+...+E_n^{-})d{S}^{-}+{\int }_S(E_{n+1}^{-}+E_{n+2}^{-}+...+E_{n+N}^{-})d{S}^{-} \\ =\frac{q_1}{{ϵ}_0}+\frac{q_2}{{ϵ}_0}+\frac{q_2}{{ϵ}_0}+...+\frac{q_n}{{ϵ}_0} \end{gathered}$$
所以：
$${\int }_S{E}^{-}d{S}^{-}=\frac{1}{{ϵ}_0}\sum _{(S_{内})}{q}_i$$

总结：

1. $$\begin{gathered} {\Phi }_e=\frac{1}{{ϵ}_0}\sum _{(S_{内})}{q}_i(不连续分布的源电荷) \\ {\Phi }_e=\frac{1}{{ϵ}_0}{\int }_{q_{(S_{内})}}dq(连续分布的源电荷) \end{gathered}$$

2. 规律：真空中任意的静电场中，穿过任意一个闭合曲面的电通量。等于该曲面所包围的电荷电量代数和的1/\epsilon倍。——高斯定律

二.高斯定律的应用

利用高斯定律解决问题的思路：

1. 分析对称性：这一步就是为找到合适的高斯面而服务
2. 选取合适高斯面：一般来说，要根据**“中心”、“平行”**等字眼找高斯面
3. 根据高斯定律求电场强度（几何关系）

例题1

基于之前我们已经学过了“直杆——圆环模型”

那么我们就可以通过在球面中构造此模型就可以了

解：

根据高斯定律（这一步公式必须给出来）
$${\Phi }_e={\int }_S{E}^{-}d{S}^{-}=\frac{1}{{ϵ}_0}\sum _{(S_{内})}{q}_i$$
根据积分几何定义，我们可以将式子的左边化为以下形式
$${\int }_{S}EdS=4E\pi r^2$$
那么
$$E^{-}=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0{r}^2}\sum _{S_{内}}{q}_i{e}^{-}$$

1. r<R时，由于高斯面内没有电荷，所以E=0
2. r>=R时，

$$E^{-}=\frac{q}{4\pi {ϵ}_0{r}^2}{e}^{-}$$

例题2

我们引申一下，如果这个带电体不是球面，而是球体呢？

同一理
$${\Phi }_e={\int }_S{E}^{-}d{S}^{-}=\frac{1}{{ϵ}_0}\sum _{S_{内}}{q}_i$$
那么
$$E^{-}=\frac{{\sum }_{S_{内}}{q}_i}{4\pi {ϵ}_0{r}^2}{e}^{-}$$

1. 当r>=R时(根据积分几何意义，定律式子的右边代表的就是这个球的所有电荷量q)
   $$E^{-}=\frac{q}{4\pi {ϵ}_0{r}^2}{e}^{-}$$

2. r<R时，
   $$E^{-}=\frac{{\sum }_{S_{内}}{q}_i}{4\pi {ϵ}_0{r}^2}{e}^{-}=\frac{\rho \frac{4\pi r^3}{3}}{4\pi {ϵ}_0{r}^2}{e}^{-}=\frac{\rho r^{-}}{3{ϵ}_0}$$

这样一来我们就得到了一个产生球对称分布电场的电场分布
$$E^{-}=\frac{\rho r^{-}}{3{ϵ}_0}$$

总结：产生球对称分布电场的电荷体系

1. 点电荷、均匀带电球面、球壳、球体；
2. 高斯面：这种情形下，只能选择与带点体系同心的球面为高斯面

例题3————补偿法（同2理）

对于大圆:
$$E^{-}=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\frac{\rho \frac{4\pi r^3}{3}}{r^2}\frac{r^{-}}{|r^{-}|}=\frac{\rho r^{-}}{3{ϵ}_0}$$
对于小圆:
$$E^{-}=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\frac{\rho \frac{4\pi r^{\prime 3}}{3}}{r^{\prime 2}}\frac{r^{\prime -}}{|r^{\prime -}|}=\frac{\rho r^{\prime -}}{3{ϵ}_0}$$
所以
$$E^{-}=\frac{\rho r^{-}}{3{ϵ}_0}-\frac{\rho r^{\prime -}}{3{ϵ}_0}=\frac{\rho a^{-}}{3{ϵ}_0}(a^{-}为两个向量的差)$$

例题4————高斯面放缩法

KaTeX parse error: Undefined control sequence: \ at position 179: …R_1\leq r<R_2\\\̲ ̲\frac{q_0+q_1+q…

例题5

注意：无限大均匀的带点平面产生的电场是面对称分布的

对于这种题目，我们选取正圆柱面为高斯面

$$\begin{gathered} {\Phi }_e={\int }_S{E}^{-}d{S}^{-} \\ ={\int }_{侧}{E}^{-}d{S}^{-}+{\int }_{左底}{E}^{-}d{S}^{-}+{\int }_{右底}{E}^{-}d{S}^{-} \\ =0+ES+ES \end{gathered}$$
根据高斯定律：
$$2ES=\frac{1}{{ϵ}_0}\sigma S$$
所以得到了一个结论公式:
$$E^{-}=\frac{\sigma }{2{ϵ}_0}{n}_0^{-}$$

例题6

对于外部:
$$E_{外}=0$$
对于内部:
$$E_{内}=E_{+}+E_{-}=2\frac{\sigma }{2{ϵ}_0}=\frac{\sigma }{{ϵ}_0}$$
总结：对于无限大的均匀带电平面

1. 高斯面：只能选择两个底面与带点体系平行、等距的正柱面
2. 无限大是一个相对概念：只要场点到平板或者平面的距离远小于平面或者平板的几何尺寸，我们都可以将其看作无限大。

第四节 静电场中的环路定律 电势

一.静电场的环路定理

1.单个点电荷产生的电场：

$$\begin{gathered} A_{ab}={\int }_{a(L)}^b{F}^{-}{l}^{-}={\int }_{a(L)}^b{q}_0{E}^{-}d{l}^{-} \\ ={\int }_{a(L)}^b\frac{q{q}_0}{4\pi {ϵ}_0{r}^2}{e}^{-}d{l}^{-} \\ ={\int }_{a(L)}^b\frac{q{q}_0}{4\pi {ϵ}_0{r}^2}dlcos\theta \\ ={\int }_{a(L)}^b\frac{q{q}_0}{4\pi {ϵ}_0{r}^2}dr \\ (这里注意一下：因为dlcos\theta 刚好与r的方向相同，所以我们就可以将它看作半径的微分，方便后面的积分运算) \\ =\frac{q{q}_0}{4\pi {ϵ}_0}(\frac{1}{r_a}-\frac{1}{r_b}) \end{gathered}$$

这里我就发现了：最后算出来的结果与路径无关,只与起始位置与结束位置有关系。

2.多个点电荷（带电体系）产生的电场

同上道理：
$$A_{ab}=\sum _{i=1}^n\frac{q_i{q}_0}{4\pi {ϵ}_0}(\frac{1}{r_{ai}}-\frac{1}{r_{bi}})$$

3.环路定理：静电场中电场强度沿任意闭合路径的线积分等于零。

二.电势 电势差

1.定义

高中内容，略

注意：选取电势能零点的原则——无限选有限，有限选无限

1. 当源电荷分布在有限范围内时，一般选取无穷远点。
2. 无限大的带电体，我们就选在有限远处一点。
3. 实际应用中，选取大地、仪器外壳为零点。

2.计算式

1. 电势
   $$u_p=\frac{E_p}{q_0}={\int }_p^{P_0}{e}^{-}d{l}^{-}(P_0是电势零点)$$

2. 电势差(单位正电荷从a到b做的功)
   $$\begin{gathered} u_{ab}=u_a-u_b=\frac{E_a}{q_0}-\frac{E_b}{q_0}=\frac{1}{q_0}({\int }_a^{p_0}{q}_0{E}^{-}d{l}^{-}-{\int }_b^{p_0}{q}_0{E}^{-}d{l}^{-}) \\ =\frac{1}{q_0}{\int }_a^b{q}_0{E}^{-}d{l}^{-}=\frac{W_{ab}}{q_0}={\int }_a^b{E}^{-}d{l}^{-} \end{gathered}$$

3.电势叠加原理——标量叠加

注意：

• 电场叠加是矢量叠加。
• 电势叠加是标量叠加。

三.例题

例题1（球面）

解：

根据球对称性，我们可以选取无穷远点为电势零点，并且根据高斯定理求出电场强度的分布：
$$\begin{gathered} E^{-}\{\begin{array}{c}0(r<R)\\ \frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\frac{q}{r^2}{e}^{-}(r\ge R)\end{array} \\ {u}_{外}={\int }_P^{\infty }{E}^{-}d{l}^{-}={\int }_r^{\infty }\frac{qdr}{4\pi {ϵ}_0{r}^2}=\frac{q}{4\pi {ϵ}_{0}r} \\ {u}_{上}={\int }_R^{\infty }\frac{qdr}{4\pi {ϵ}_0{r}^2}=\frac{q}{4\pi {ϵ}_{0}R} \\ {u}_{内}={\int }_P^{\infty }{E}^{-}d{l}^{-}={\int }_r^{R}Edr+{\int }_R^{\infty }Edr=\frac{q}{4\pi {ϵ}_{0}R} \\ (注意:我们求电势一定要有动态思维——把电荷从电势零点拿到目标点的过程中，有两个电场变化) \\ u=\{\begin{array}{c}\frac{q}{4\pi {ϵ}_{0}R}(r\le R)\\ \frac{q}{4\pi {ϵ}_{0}r}(r>R)\end{array} \end{gathered}$$

例题2(球体)

解：
$$\begin{gathered} E^{-}\{\begin{array}{c}\frac{qr}{4\pi {ϵ}_0{R}^3}\vec{e}(r<R)\\ \frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\frac{q}{r^2}\vec{e}(r\ge R)\end{array} \\ {u}_{外}={\int }_P^{\infty }\vec{E}d\vec{l}={\int }_r^{\infty }\frac{qdr}{4\pi {ϵ}_0{r}^2}=\frac{q}{4\pi {ϵ}_{0}r} \\ {u}_{内}={\int }_P^{\infty }\vec{E}d\vec{l}={\int }_r^R\frac{qrdr}{4\pi {ϵ}_0{R}^3}+{\int }_R^{\infty }\frac{qdr}{4\pi {ϵ}_0{r}^2}=\frac{q(3R^2-r^2)}{8\pi {ϵ}_0{R}^3} \end{gathered}$$

例题3（无限长空间线+不能“无限选无限”的原因）

如果我们选取无穷远为势能零点：
$$E=\frac{\lambda }{2\pi {ϵ}_{0}x}(前几节已经证过)\to u_p={\int }_x^{\infty }\frac{\lambda dx}{2\pi {ϵ}_{0}x}=\frac{\lambda }{2\pi {ϵ}_0}(ln\infty -lnx)\to 无解$$
观察上面的式子，我们可以选取x=单位距离的位置进行运算：
$$u_P=-\frac{\lambda }{2\pi {ϵ}_0}lnx$$

例题4

法一（对电荷进行微分）
$$u_P={\int }_0^{2\pi R}\frac{\lambda dl}{4\pi {ϵ}_0\sqrt{R^2+x^2}}=\frac{\lambda 2\pi R}{4\pi {ϵ}_0\sqrt{R^2+x^2}}=\frac{q}{4\pi {ϵ}_0\sqrt{R^2+x^2}}$$
法二（对距离进行微分——已知场强分布）

已知：
$$\vec{E}=\frac{qx}{4\pi {ϵ}_0(R^2+x^2{)}^{3/2}}\vec{i}$$
那么：
$$u_P={\int }_P^{\infty }\vec{E}d\vec{l}=\frac{q}{4\pi {ϵ}_0}{\int }_P^{\infty }\frac{xdx}{(R^2+x^2{)}^{3/2}}=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\frac{q}{(R^2+x^2{)}^{1/2}}$$
思考：

• $$当x\to 0时，u_p=\frac{q}{4\pi {ϵ}_{0}R}$$

• $$当x>>R时，u_P=\frac{q}{4\pi {ϵ}_{0}x}$$

四.电势与电场强度的关系

引入：

在空间中，取得两个相邻的距离很近的等势面，把点电荷q从P移到Q时电场力的功为：

$$\begin{gathered} dA=q[u-(u+du)]=-qdu \\ dA=q\vec{E}d\vec{l}=qEcos\theta dl \\ ->Ecos\theta dl=-du \\ \frac{du}{dl}=-Ecos\theta \end{gathered}$$
所以，可以得到：
$$E_x=-\frac{\delta u}{\delta x}{E}_y=-\frac{\delta u}{\delta y}{E}_z=-\frac{\delta u}{\delta z}$$
可以记为：
$$\vec{E}=-(\frac{\delta u}{\delta x}\vec{i}+\frac{\delta u}{\delta y}\vec{j}+\frac{\delta u}{\delta z}\vec{z})--(拉普拉斯算符)$$
所以：

静电场中的某点的电场强度等于该点电势的负梯度

第五节 静电场中的导体 电容

一.静电场中的导体

1.静电感应现象

​ 导体内存在大量的自由电荷，没有外部电场的时候，整个金属的电量代数和为0，成电中性，电子作无规则的热运动；当引入场强为E_0的外场后，导体中的电荷会重新分布，这就是静电感应现象，最后的稳定状态我们称之为静电平衡。

1. 内部电场强度为0（静电平衡条件）
2. 导体是等势体
3. 导体表面是等势面
4. 表面的电场强度方向垂直于导体表面

2.处于静电平衡状态的导体性质

（1）导体内部处处不带电，电荷只能分布在导体的表面上。

1. 如果有空腔，且空腔中无电荷，则**电荷只能分布在外表面**（保证E_内=0）
2. 如果有空腔，且空腔中有电荷，则在内外表面都分布有电荷

（2）静电平衡的时候，导体表面附近的电场强度与导体表面的电荷面密度成正比

​ 假设导体表面的电荷面密度为\sigma(x,y,z)，我们根据高斯定理确定电场强度E和电场密度\sigma的关系：
$${\int }_S\vec{E}d\vec{S}={\int }_{\Delta S}\vec{E}d\vec{S}+0(内部E=0)+{\int }_{S-\Delta S}\vec{E}d\vec{S}$$
所以:
$$E\Delta S=\frac{\sigma \Delta S}{{ϵ}_0}$$
即：
$$\vec{E}=\frac{\sigma }{{ϵ}_0}\vec{n}$$
（3）尖端放电

​ 对于孤立的导体（周围没有其他导体），**导体表面曲率越大（小）**的地方，电荷密度越大（小），电场强度越大（小），曲率为负的地方，电荷密度可以忽略不计。

尖端放电过程：由于在尖端，曲率较大，电荷密度较大，电场强度较强，那么当空气中存在游离的离子的时候，离子就会获得一定的速度，从而去轰击空气分子，从而产生电子与正电荷，正电荷又与导体上的负电荷重新组合形成空气分子。

3.静电屏蔽

​ 把导体的外壳接地，内部电场的变化、电荷分布和外部电场的变化、电荷分布都互不影响。

二.孤立导体的电容

$$C=\frac{Q}{\mu }$$

注意：电容只与导体的几何因素和介质有关，遇到提是否带电无关。

三.电容器的电容

引入：如果要研究电容器，也就是非孤立导体的电容，情况会变得十分复杂（不仅仅取决于导体本身，还取决于环境），所以我们用一个导体B把导体A给圈起来，这样一来，空前内的场强仅仅由A所带电量以及A表面、B内表面形状所决定，与外界情况无关。

1.平行电容器

$$\begin{gathered} \Delta u=Ed=\frac{\sigma }{{ϵ}_0}d(静电平衡的时候，导体表面附近的电场强度与导体表面的电荷面密度成正比)=\frac{Qd}{S{ϵ}_0} \\ C=\frac{Q}{\Delta u}=\frac{{ϵ}_{0}S}{d} \end{gathered}$$

2.球形电容器

根据高斯公式：
$$\begin{gathered} E4\pi r^2=\frac{Q}{{ϵ}_0}->E=\frac{Q}{4\pi r^2{ϵ}_0} \\ \Delta u={\int }_a^b\vec{E}d\vec{l}=\frac{Q}{4\pi {ϵ}_0}(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}) \\ C=\frac{Q}{\Delta u}=\frac{4\pi {ϵ}_0{R}_1{R}_2}{R_2-R_1} \end{gathered}$$

3.柱形电容器

由高斯定理：
$$\begin{gathered} E2\pi rhE=\frac{1}{{ϵ}_0}\frac{l}{h}Q(均匀分布) \\ E=\frac{Q}{2\pi {ϵ}_{0}rl} \\ \Delta u={\int }_{R_1}^{R_2}\frac{Q}{2\pi {ϵ}_{0}rl}dr=\frac{Q}{2\pi {ϵ}_{0}l}ln\frac{R_2}{R_1} \\ C=\frac{Q}{\Delta u}=\frac{2\pi {ϵ}_{0}l}{ln(R_2/R_1)} \end{gathered}$$

4.电容器串并联

	q	U	C
串联	q1=q2=q3=…=qn	U=U1+U2+…+Un	1/C=1/C1+1/C2+…+1/Cn
并联	q=q1+q2+…+qn	U=U1=U2=…=Un	C=C1+C2+…+Cn

第六节 静电场中的介质

一.电介质的极化

1.电介质：不导电或者是导电能力极差的物质叫电介质。

2.有极分子：无外电场的时候，正负电荷中心不重合的分子。有极分子等效于电偶极子，电偶极矩记作P_e。

3.无极分子电介质：无外电场的时候，正负电荷中心重合的分子。无极分子在无外电场的情况下不能看做一个电偶极子，但是在有外电场的时候，其电偶极矩就叫做诱导电矩。

4.电介质极化的过程

1. 对于无极分子——取向极化

   无外场的时候：无极分子整体对外不显电性。

   有外场的时候：无极分子可以看成一个电偶极子，电介质内外会出现电荷聚集的现象（极化现象），聚集起来的电荷无法自由移动，称为束缚电荷或者是极化电荷。

   

2. 对于有极分子——位移极化

   无外场的时候：由于分子热运动，分子在空间内的运动杂乱无章，电偶极子间的趋向杂乱无章，所以整个电介质的固有电偶极矩矢量和为0，整体不显电性。

   有外场的时候：由于每一个电偶极子都会收到一个力矩的作用，从而会有一个旋转到与外电场方向相同的倾向，最终也会出现与无极分子类似的现象。

注意：

（1）两种极化的宏观效果一样：

• 极化电场与电场方向相反
• 各向同性的均匀介质中极化电荷仅仅出现在介质表面处

（2）极化电荷的电场不能完全抵消电场，除非介质被击穿

（3）取向极化中也有位移极化

二.电介质中的电场

1.电极化强度：P
$$\vec{P}=\underset{\Delta V\to 0}{\lim }\frac{{\sum }_i{\vec{p}}_i}{\Delta V}({\vec{p}}_i是每个分子的电偶极矩)$$
对于均匀各向同性电介质：
$$\vec{P}=\frac{{\sum }_i{\vec{p}}_i}{\Delta V}$$
外电场越强，P越大，电介质极化也越强烈。

2.电极化率：X

对于大多数常见的均匀、各向同性的电介质而言，有：
$$\vec{P}=\chi {ϵ}_0\vec{E}$$
这个公式揭示了均匀各向同性电介质中任意一点的电极化强度与该点电场强度的关系。

3.极化强度矢量的通量:PS
$${\int }_S\vec{P}d\vec{S}=-\sum _S{q}^{\prime }$$
穿过任意闭合曲面的极化强度矢量的通量等于该闭合曲面内极化电荷总量的负值

4.极化电荷和自由电荷:q’、q_0

​ 自由电荷产生外电场；极化电荷产生内电场。

5.相对介电常数:\epsilon_r

外电场强度：
$$E_0=\frac{{\sigma }_0}{{ϵ}_0}$$
附加电场强度：
$$E^{\prime }=\frac{{\sigma }^{\prime }}{{ϵ}_0}=\frac{{ϵ}_0\chi \vec{E}\vec{n}}{{ϵ}_0}=\frac{{ϵ}_0\chi E}{{ϵ}_0}=\chi E$$
介质中总得场强：
$$E=E_0-E^{\prime }=E_0-\chi E$$
所以：
$$E=\frac{1}{1+\chi }\frac{{\sigma }_0}{{ϵ}_0}=\frac{1}{1+\chi }{E}_0$$
令:
$${ϵ}_r=1+\chi$$
则：
$$\vec{E}=\frac{1}{{ϵ}_r}\overrightarrow{E_0}({ϵ}_r为介质的相对介电常数)$$

三.电介质中的高斯定律

​ (绿色部分是我们取得高斯面)
$${\int }_s\vec{E}d\vec{S}=\frac{1}{{ϵ}_0}(\sum q_0+\sum q^{\prime })$$
之前已知：
$${\int }_s\vec{P}d\vec{S}=-\sum q^{\prime }$$
那么：
$$\begin{gathered} {\int }_s\vec{P}d\vec{S}={\int }_{s上}\vec{P}d\vec{S}+{\int }_{s侧}\vec{P}d\vec{S}+{\int }_{s下}\vec{P}d\vec{S}=0+0+{\int }_{s下}\vec{P}d\vec{S} \\ ={\sigma }^{\prime }\Delta S=-(-{\sigma }^{\prime }\Delta S)=-\sum q^{\prime } \end{gathered}$$
将这个式子与我们的第一个式子相加：
$${\int }_s({ϵ}_0\vec{E}+\vec{P})d\vec{S}=\sum q_0$$
令:
$$\vec{D}={ϵ}_0\vec{E}+\vec{P}={ϵ}_0(1+\chi )\vec{E}={ϵ}_0{ϵ}_r\vec{E}=ϵ\vec{E}={ϵ}_0\overrightarrow{E_0}$$
那么：
$${\int }_s\vec{D}d\vec{S}=\sum q_0(\vec{D}就是电位移矢量)$$
所以：

​ 在电介质中，通过任意闭合曲面的电位移通量等于该曲面所包围的自由电荷的代数和，与极化电荷及闭合曲面外的电荷无关。这一结论称为电介质中的高斯定理。