从零开始的函数式编程(2) —— Church Boolean 编码

[!quote] 关于λ表达式……
详见λ表达式

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目录

• λ演算与λ代数
  • Church 编码
    • Church-Boolean 逻辑编码
      • 条件选择函数
      • 真与假 | True | False
      • 逻辑运算 | AND | OR | NOT
        • 合取 | 且 | AND
        • 析取 | 或 | OR
        • 反转 | 非 | NOT

λ演算与λ代数

上一整节我们利用λ符号体系构建了一套表达式系统，从这里开始，我们将正式开始利用这套系统进行代数应用，在进行演算之前，需要先利用符号体系构建一个代数运算系统。

[!note] 命名终究只是命名
虽然我们之前使用了很多诸如(+ x 1)等等这样的形式，但它们只是我们定义的命名，所以无论是x还是+和1，都只是一个记号而已，尽管我们根据以往的经验为这些符号赋予了某些我们所熟知的含义，但在当前的λ演算语境下，这些东西都还没定义过。

Church 编码

为了使λ演算能够具体应用到计算机和程序上，那么就意味着λ代数系统必须能够表示如下两种东西——

• 数值（逻辑值、整数……）
• 运算（算符、函数、操作……）

也就是说，这些东西要在λ演算中映射为λ表达式（使用表达式来表示）。

[!tip]
粗暴地说，Church编码就是一种把数值和运算编码为λ表达式的过程。

• 但注意！Church编码并非唯一的编码方式，还有其他的编码方式，如Scott编码等。
• Church编码的特点在于以数值表示为起点进行编码，并在基础上构建其他编码。

Church-Boolean 逻辑编码

[!abstract] Church-Boolean 编码汇总
为了方便查阅，这里将本节所有的编码定义列出来，正文是比较冗长的推导过程

DEF T = λx.λy.x
DEF F = λx.λy.y
DEF AND = λP.λQ.(P Q P)
DEF OR = λP.λQ.(P P Q)
DEF NOT = λP.λQ.(P F T)

首先我们需要通过Church编码构建出布尔运算系统。之所以先选择布尔代数，是因为布尔代数的结构简单，性质清晰，比较容易构建。

布尔代数（Boolean Algebra）包含的内容非常简单——

• 布尔域\(\mathbb B\)中只包含两个元素\(\mathrm T\)和\(\mathrm F\)
• 支持三种基本运算\(\wedge\) 、\(\vee\)、\(\neg\) 。
• 运算对域封闭，且对于\(\wedge\)和\(\vee\)都在\(\mathbb B\)上分别存在上界和下界

条件选择函数

在介绍Church-Boolean中的真假值前，我们先来考察条件选择函数，所谓条件选择函数就是下面这样的一个三元函数——

\[\operatorname{COND} (c,x,y) = \begin{cases} x, &c=\mathrm{T} \\ y, &c=\mathrm{F} \end{cases} \]

其中\(c\)是条件值，条件选择函数根据\(c\)的值就在\(x\)和\(y\)中做出选择。可以发现，实际上，这个条件选择函数就对应了大多数编程语言中的三元运算符c ? x : y。

我们将这个运算表示为IF-THEN-ELSE形式，可以表示为——

IF c THEN x ELSE y

可以发现这里分为3个子部——

• IF c ：判断c的条件；
• THEN x：当c == true被满足时，选择x；
• ELSE y：上述条件不成立时，选择y；

至此，我们可以把这三个部分抽象为三个λ表达式。

DEF cond = λc.λx.λy.(c x y)

由于真假值承载于c中，因此我们就利用c来对真假值进行编码。

真与假 | True | False

基于上面的想法，我们就能够通过Church编码定义出逻辑的真值T和假值F。讨论c的情况，根据定义，cond函数应当满足——

cond T x y => λc.λx.λy.(c x y) T x y => λx.λy.(T x y) x y => T x y => x
COND F x y => λc.λx.λy.(c x y) T x y => λx.λy.(F x y) x y => F x y => y

观察倒数两步归约，我们发现

• 欲使T x y => x，那么就要求(T x) y必须发生η归约。
  • 也就是说(T x)中约束不生效，可以构建自由表达式(T x) == λb.x
    • 再脱去对x的运用，解开约束对，意味着我们需要引入一个新的约束变量
    • 于是我们就可以得到T == λa.λb.a。
• 欲使F x y => y，那么就要求(F x) y必须发生β归约。
  • 而且更进一步地，(F x) == identity == λb.b
    • 类似地，再脱去对x的运用，解开约束对，引入另外的约束变量 λa
    • 于是F == λa.λb.b

[!tip] 反归约技巧
我们知道对于运用(f x)进行归约时，会将f中受约束的变量替换为参数x，例如(λa.a x) => x
那么，反过来对于已知的某一表达式x如果想要引入约束，或者把x作为参数提出来，那么就需要引入新的不冲突的约束命名，x => (λy.y x)。
利用这种性质在已知(f x)的情况下可以展开f == λa.(f a)

^9b9507

经过α转换，将a更名为x，b更名为y，我们就可以得出T和F的定义

DEF T = λx.λy.x
DEF F = λx.λy.y

这种定义下的T和F被映射为λ函数，因此可以作为一种条件选择函数来运用。

可以将上述定义代入表达式(c x y)通过[[λ表达式#归约 消解|归约]]来证明这个编码的正确性——

[!warning] 注意
归约化简时，不要忘记变量约束的右结合律和函数运用的左结合律

(T T F) => (λx.λy.x λx.λy.x λx.λy.y)
    β|=> (λx.λy.(λx.λy.x) λx.λy.y) 
    α|=> (λy.(λa.λb.a) λx.λy.y)
    η|=> (λa.λb.a)
    α|=> (λx.λy.x) => T

(F T F) => (λx.λy.y λx.λy.x λx.λy.y)
    η|=> (λy.y λx.λy.y)
    β|=> (λx.λy.y) => F // alternatively, ==> identity F => F

逻辑运算 | AND | OR | NOT

接下来要对逻辑运算进行Church编码，这里先给出三种基本逻辑运算的真值表——

A	B	A AND B	A OR B	NOT A
F	F	F	F	T
F	T	F	T	T
T	F	F	T	F
T	T	T	T	F

XOR、NAND之类的都可以在这三种基本运算的基础上组合出来。所以我们姑且只定义上面三个基本运算即可。

在正式开始之前，我们先考察一个东西——既然T和F都被映射为函数，那么意味着他们可以相互作为函数和参数构成约束对进行运用，那么约束对能否归约，以及归约后的结果是什么，这里给出两个基本函数相互运用的归约结果——

T T => (λx.λy.x) (λx.λy.x) β|=> λy.(λx.λy.x) α|=> λy.(λa.λb.a) => λy.T
T F => (λx.λy.x) (λx.λy.y) β|=> λy.(λx.λy.y) α|=> λy.(λa.λb.b) => λy.F
[i.e.]  T P => λy.P
        T P Q => P
F T => (λx.λy.y) (λx.λy.x) η|=> λy.y => identity
F F => (λx.λy.y) (λx.λy.y) η|=> λy.y => identity
[i.e.]  F P => λy.y => identity
        F P Q => Q

^6686a8

需要注意的是，归约结果中的T和F中的x和y和外层约束的y没有任何关系，而是出现了命名冲突（如果要展开那么需要进行一次α转换），所以实际上这里的T是自由表达式。在上面的归约过程中，我们可以归纳出如下性质——

• 如果以T作为函数运用(T P)（其中P,Q in {T, F}），那么会通过β归约将x替换为P从而得到一个新的函子λy.P，且Q不受y的约束。
  • 把这个结果λy.P再作为函数并传入参数Q构成约束对，那么下一步将发生η归约，消去λy约束，最终只会剩下P（T P Q => λy.Q Q => Q）
• 如果以F作为函数，那么由于F的λx并没有进行约束，所以先进行η归约，消去λx约束，最终总会留下λy.y，好巧不巧地，这正好是恒等函数identity
  • 那接下来就很清晰了，如果再传入参数Q，由于identity的性质，或者直接通过β归约替换，则会只留下后面的这个参数P（F P Q => identity Q => λy.y Q => Q）

完成上面的工作有助于我们通过Church编码来定义逻辑运算。

合取 | 且 | AND

首先来看一下合取运算，合取的要求是只有当两个输入均为T，才可以被归约为T，其他情形全部为F——

AND T Q => Q
    AND T => (F P)
AND F Q => F
    AND F => (T P)

观察上面的形式，对于AND P Q ，我们可以做出如下归纳

• 当P==T时，AND P Q => AND T Q => Q
  • 这种情况对应[[#^6686a8|上面]]的(F P)，于是AND T Q => F P Q
• 当P==F时，AND P Q => AND F Q => F
  • 这种情况对应[[#^6686a8|上面]]的(T P)，于是AND F Q => T P Q

[!question] 麻烦了
目前我们归纳出的结论是AND P == (NOT P) P，然而问题在于我们还没有定义过NOT， 这怎么办呢？

[!tip] 还好
AND满足交换律，也就是说应当有AND P Q == AND Q P

通过交换律将AND P Q换成AND Q P，不影响先前的结论，除了讨论对象此时从AND P变成了AND Q。

AND Q P[P:=T] => Q
    AND Q => (T Q)
AND Q P[P:=F] => AND Q F => F
    AND Q => (F Q)
AND Q => (P Q)

终于我们可以得出AND的Church编码——

DEF AND = λP.λQ.(P Q P)

析取 | 或 | OR

与合取类似，析取也具有交换律，并且我们也可以效仿刚才的过程完成OR的定义，首先考察

OR T Q => T
    OR T => (T P)
OR F Q => Q
    OR F => (F P)

这次无需交换律了，直接替换就能够得到OR的定义——

DEF OR = λP.λQ.(P P Q)

反转 | 非 | NOT

NOT比较特别，因为NOT是一个一元运算，需要单独讨论。

NOT T == NOT λx.λy.x => F == λx.λy.y
NOT F == NOT λx.λy.y => T == λx.λy.x

简单来说，输入的参数是选择其中一个，那么NOT的输出总是选择另外一个。考虑到真假值T和F均是通过cond定义的，那么，如果直接反转cond的定义是不是就能够得到相反的输出？

cond == λc.λx.λy.(c x y)
ncond == λc.λx.λy.(c y x)

于是我们得到了一种NOT的定义形式

DEF NOT1 = λP.λx.λy.(P y x)

这个形式看起来比较底层，我们能不能利用已有的逻辑值来定义呢？

再次考察 cond P ——

cond P => λP.λx.λy.(P x y) P => λx.λy.(P x y)

如果考虑将x替换为F，y替换为T，也能达成同样的效果，于是我们进一步提供参数——

cond P F T => λx.λy.(P x y) F T => P F T

于是我们得到了另一种NOT的定义——

DEF NOT2 = λP.(P F T)

通过归约可证明，NOT1 <=> NOT2

至此，两个逻辑值和三个基本逻辑运算被定义完毕，Church-Boolean编码完成，可以使用λ表达式进行逻辑演算了。

[!question] 思考
不妨试试用类似的方式定义出更多的逻辑运算，例如异或XOR、与非NAND等……