数学基础-数论

模与剩余类

a^x mod p

1. \(a^x \mod p\) 的剩余类，以及大小
2. \(F_n \mod p\) 的循环节的大小，如斐波那契模 p 的循环节
   • Pisano Period

排列组合

1. \(\sum_{i=1}^kx_k=n, x_i >=1\) 的解的个数 \(\text{(stars and bars)}\) 为 \(\binom{n - 1}{k - 1}\)（也就是从 n-1 个空中选择 k -1 个位置插入隔板）。如果 \(x_i>=0\) 那么就是 \(\binom{n+k-1}{k-1}\)（也就是说从 n+k-1 个位置，k-1 个隔板和 n 个球的总个数形成 n+k-1 个位置，中选取 k-1 个位置放隔板，剩下的放置球）

有趣的结论

• 任意连续四个自然数的异或和为 0
  • 最低两位一定是 00, 01, 10, 11