数学基础-几何

几何

平面

三角形及公式

\(\cos \theta = \vec{a}*\vec{b} / (|\vec{a}||\vec{b}|)\)
面积：\(a*b\sin \theta\)

平面变换

点旋转

对于 \((x,y)\)，顺时针旋转 \(\theta\)，得到

\[\left(\begin{array}{l} x' \\ y' \end{array} \right) = \begin{pmatrix} \cos{\theta} &-\sin{\theta}\\ \sin{\theta} & \cos{\theta} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} \]

距离

曼哈顿距离

\[dis(A,B)=|x_i-x_j|+|y_i-y_j| \]

假如要求

\(\sum_{i=1}^{N}\sum_{j=i+1}^{N}dis(P_i,P_j)\)

会发现可以分别求横坐标的贡献和纵坐标的贡献，即\(\sum_{i=1}^{N}\sum_{j=i+1}^{N}|x_i-x_j|\)。
单独考虑每个 x_i 对最终的贡献，则结果为 \(\sum_{i=1}^N(N+1-2i)x_i\)