组合数+容斥原理

//组合数

// O(n^2),预处理递推

//n---1~2e3
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e3+10,mod=1e9+7;
int n,m,c[N][N];
int main()
{
    cin>>n;
    for(int i=0;i<=N;i++)
        for(int j=0;j<=i;j++)
            if(!j) c[i][j]=1;
            else c[i][j]=(c[i-1][j]+c[i-1][j-1])%mod; //预处理
    while(n--){
        int a,b;
        cin>>a>>b;
        cout<<c[a][b]<<'\n';
    }
    return 0;
}

//O(ologn),预处理阶乘
//https://blog.csdn.net/qq_44661312/article/details/103324485

//n---1~1e5

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N=1e5+10,mod=1e9+7;
int fact[N],_fact[N];
int n,m;
int qpow(int a,int k,int p)//快速幂
{
    int res=1;
    while(k){
        if(k&1) res=res*a%p;
        a=a*a%p;
        k>>=1;
    }
    return res;
}
signed main()
{
    cin>>n;
    fact[0]=_fact[0]=1;
    for(int i=1;i<N;i++){
        fact[i]=fact[i-1]*i%mod;
        _fact[i]=_fact[i-1]*qpow(i,mod-2,mod)%mod;//求阶乘的逆元
    }
    while(n--){
        int a,b;
        cin>>a>>b;
        cout<<fact[a]*_fact[b]%mod*_fact[a-b]%mod<<'\n';
    }
    return 0;
}

//lucas定理(卢卡斯定理),O(logn*logp*p)

//https://blog.csdn.net/Qiuker_jl/article/details/109528164?ops_request_misc=%257B%2522request%255Fid%2522%253A%2522169260990816800188593900%2522%252C%2522scm%2522%253A%252220140713.130102334..%2522%257D&request_id=169260990816800188593900&biz_id=0&utm_medium=distribute.pc_search_result.none-task-blog-2~all~sobaiduend~default-1-109528164-null-null.142^v93^chatgptT3_2&utm_term=%E5%8D%A2%E5%8D%A1%E6%96%AF%E5%AE%9A%E7%90%86%E8%AF%81%E6%98%8E&spm=1018.2226.3001.4187

//n---1~20,mod---1~1e5,a'b---1~1e18

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int p,n;
int qpow(int a,int k,int mod)
{
    int res=1;
    while(k){
        if(k&1) res=res*a%p;
        a=a*a%p,k*=2;
    }
    return res;
}
int C(int a,int b)
{
    int res=1;
    for(int i=1,j=a;i<=b;i++,j--){
        res=res*j%p;
        res=res*qpow(i,p-2,p)%p;
    }
    return res;
}
int lucas(int a,int b)
{
    if(a<p&&b<p) return C(a,b);
    else return C(a%p,b%p)*lucas(a/p,b/p)%p;
}
signed main()
{
    cin>>n;
    while(n--){
        int a,b;
        cin>>a>>b>>p;
        cout<<lucas(a,b)<<'\n';
    }
    return 0;
}

 线性乘法逆元递推关系式

inv[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++)
    inv[i]=p-(p/i)*inv[p%i]%p;

 预处理阶乘逆元优化

void init()
{
        fac[0]=_fac[0]=1;
    for(int i=1;i<=200000;i++)
        fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
    _fac[200000]=qpow(fac[200000],mod-2);
    for(int i=200000-1;i;i--) _fac[i]=_fac[i+1]*(i+1)%mod;
}

 

 

//容斥原理

//时间复杂度O(2^n-1)

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N=2e6+10;
int n,m,res,p[N];
signed main()
{
    cin>>n>>m;
    for(int i=0;i<m;i++) cin>>p[i];
    for(int i=1;i<1<<m;i++){//枚举2^n-1次,因为有这些种可能
        int cnt=0,t=1;
        for(int j=0;j<m;j++){
            if(i>>j&1){
                cnt++;
                t*=p[j];
                if(t>n) break; 
            }
        }
        if(cnt%2) res+=n/t; //如果是奇数,就加上
        else res-=n/t;
    }
    cout<<res<<endl;
    return 0;
}

 

 

 **基本概念：**

- |U|：所有情况的方案数
- Si：满足条件 i 的方案数
- ⋃：集合的并运算（表示满足任一条件的方案数）
- ⋂：集合的交运算（表示全部条件都满足的方案数）

**容斥原理公式：**

1. 求至少满足一个条件的方案数：

\[|\bigcup_{i=1}^{n} S_i| = \sum_{m=1}^{n} (-1)^{m-1} \sum_{1 \leq i_1 < i_2 < \ldots < i_m \leq n} |\bigcap_{j=1}^{m} S_{i_j}|\]

这个公式用于计算至少满足一个条件的方案数，其中 \(m\) 表示满足条件的条件数目，\(S_{i_j}\) 表示满足第 \(i_j\) 个条件的方案集合。

2. 求恰好满足所有条件的方案数：

\[|\bigcap_{i=1}^{n} S_i| = |U| - |\bigcup_{i=1}^{n} S_i|\]

这个公式用于计算恰好满足所有条件的方案数。

容斥的核心思想是对“至少(至多)”和“恰好（一般是）”之间的转换，通过交和并的运算来得到不同情况下的方案数。

//分特产
//https://www.luogu.com.cn/problem/P5505

//假设此时有i个人得不到第j个特产,则n-i个人分a[j]个特产,根据插板法可以得到
//方案数为 C(a[j]+n-i-1,n-i-1),而此时又要选择i个人,所以有C(n,i)个方法,根据乘法原理
//再使用容斥原理删除一些不合法的状态即可
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N=5000,mod=1e9+7;
int n,m,fac[N],_fac[N],k,a[N],res;
int qpow(int a,int k)
{
    int res=1;
    while(k){
        if(k&1) res=res*a%mod;
        a=a*a%mod,k/=2;
    }
    return res;
}
int C(int a,int b)
{
    return fac[a]*_fac[b]%mod*_fac[a-b]%mod;
}
signed main()
{
    cin>>n>>m;
    fac[0]=_fac[0]=1,k=1;
    for(int i=1;i<N;i++) fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
    _fac[N-1]=qpow(fac[N-1],mod-2);
    for(int i=N-2;i;i--) _fac[i]=(i+1)*_fac[i+1]%mod;
    for(int i=1;i<=m;i++) cin>>a[i];
    for(int i=0;i<n;i++,k=-k){
        int cnt=1;
        for(int j=1;j<=m;j++) cnt=cnt*C(a[j]+n-i-1,n-i-1)%mod;
        res=(res+C(n,i)*k%mod*cnt%mod+mod)%mod;
    }
    cout<<res;
    return 0;
}

 

一个 n × m 的棋盘，用 c 种颜色染色，求满足条件的方案数：

- 棋盘的每一个小方格既可以染色（染成 c 种颜色中的一种），也可以不染色。
- 棋盘的每一行至少有一个小方格被染色。
- 棋盘的每一列至少有一个小方格被染色。
- 每种颜色都在棋盘上出现至少一次。

 

 

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N=1000,mod=1e9+7;
int n,m,fac[N],_fac[N],num,res,k,c;
int f[N];
int qpow(int a,int k)
{
    int num=1;
    while(k){
        if(k&1) num=num*a%mod;
        a=a*a%mod,k/=2;
    }
    return num;
}
int C(int a,int b)
{
    return fac[a]*_fac[b]%mod*_fac[a-b]%mod;
}
signed main()
{
    cin>>n>>m>>c;
    fac[0]=_fac[0]=1;
    for(int i=1;i<N;i++) fac[i]=i*fac[i-1]%mod;
    _fac[N-1]=qpow(fac[N-1],mod-2);                                         
    for(int i=N-2;i;i--) _fac[i]=(i+1)*_fac[i+1]%mod;
    for(int i=1;i<=c;i++){
        int cnt=0;
        for(int k=1,q=1;k<=m;k++,q=-q)
            cnt=(cnt+C(m,k)%mod*qpow(qpow(i+1,m-k)-1,n)%mod*q+mod)%mod;
        f[i]=(qpow(qpow(i+1,m)-1,n)%mod-cnt+mod)%mod;
    }
    int num=0;
    for(int i=1,q=1;i<=c;i++,q=-q)
        num=(num+(C(c,i)*f[c-i]%mod*q+mod)%mod)%mod;
    res=(f[c]-num+mod)%mod;
    cout<<res<<endl;
    return 0;
}