一些关于斯特林数的笔记

$\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}$ 第二类斯特林数：将一个含有n个元素的集合分成k个非空不相交的子集的方案数

如{1,2,3,4}要分成2个子集的方案有

{1,2,3} {4}
{1,2,4} {3}
{1,3,4} {2}
{2,3,4} {1}
{1,2} {3,4}
{1,3} {2,4}
{1,4} {2,3}

所以 $\begin{Bmatrix} 4\\ 2 \end{Bmatrix}=7$

当n等于0时，第二类斯特林数如下：

$\begin{Bmatrix} 0\\ 0 \end{Bmatrix}=1$ 空集分成0个子集，正好是自身，有一种方案
$\begin{Bmatrix} 0\\ k \end{Bmatrix}=0,k>0$ 空集无法分成k个子集，没有方案

当n>0时，第二类斯特林数如下：

$\begin{Bmatrix} n\\ 0 \end{Bmatrix}=0,n>0$ 集合有元素，至少并且必须能分得一个子集
$\begin{Bmatrix} n\\ 1 \end{Bmatrix}=1,n>0$ 集合分得一个子集，就是他自身
$\begin{Bmatrix} n\\ k \end{Bmatrix}=k\begin{Bmatrix} n-1\\ k \end{Bmatrix}+\begin{Bmatrix} n-1\\ k-1 \end{Bmatrix},n>0,k>0$

集合的第n个元素自己构成第k个集合，方案数= $\begin{Bmatrix} n-1\\ k-1 \end{Bmatrix}$
集合的第n个元素放入已经分得的k个子集的其中一个，方案书= $k\begin{Bmatrix} n-1\\ k \end{Bmatrix}$

$\begin{bmatrix} n\\k \end{bmatrix}$ 第一类斯特林数：把n个元素分成k份，每份形成一个环的方案数

与第二类斯特林数的区别：1,2,3三个元素构成的集合只有一个，1,2,3构成的环有[1,2,3][1,3,2]两个

例如将1,2,3,4四个元素分成两个环，有

[1,2,3][4]
[1,2,4][3]
[1,3,4][2]
[2,3,4][1]
[1,3,2][4]
[1,4,2][3]
[1,4,3][2]
[2,4,3][1]
[1,2][3,4]
[1,3][2,4]
[1,4][2,3]

所以 $\begin{bmatrix} 4\\2 \end{bmatrix}=11$

n个元素组成环的方案 $n!/n=(n-1)!$

所以 $\begin{bmatrix} n\\1 \end{bmatrix}=(n-1)!,n>0$

而一个元素或者两个元素所能构成的环都只有1种，所以有
$\begin{bmatrix} n\\n \end{bmatrix}=\begin{Bmatrix} n\\ n \end{Bmatrix}=1,\begin{bmatrix} n\\n-1 \end{bmatrix}=\begin{Bmatrix} n\\n-1 \end{Bmatrix}=\begin{pmatrix} n\\2 \end{pmatrix},n>0$

当k任意时，有 $\begin{bmatrix} n\\k \end{bmatrix}=(n-1)\begin{bmatrix} n-1\\k \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} n-1\\k-1 \end{bmatrix},n>0,k>0$

第n个元素自成一个环，方案数为 $\begin{bmatrix} n-1\\k-1 \end{bmatrix}$
第n个元素插入之前已经生成的任意一个环里，方案数为 $(n-1)\begin{bmatrix} n-1\\k \end{bmatrix}$ ，因为一个元素插入一个长度为m的环的方案为m

关于斯特林数的一些性质

对于1,2,...,n，它的任意排列都对应着一个循环群，即一个把n个元素分成k个环的方案

例如 1,2,3,4,5,6,7,8,9

3,8,4,7,2,9,1,5,6

1->3->4->7->1，2->8->5->2，6->9->6

即环[1,3,4,7][2,8,5][6,9]

所以有 $\sum_{k=0}^{n}\begin{bmatrix} n\\k \end{bmatrix}=n!$

通过斯特林数，可以对 $x^{\overline{n}},x^{n},x^{\underline{n}}$ 之间进行转换

1. $x^{n}=\sum_{k}^{ }\begin{Bmatrix} n\\k \end{Bmatrix}x^{\underline{k}}$

证明：

$x^{0}=1,\sum_{k}^{ }\begin{Bmatrix}0\\k \end{Bmatrix}x^{\underline{k}}=\begin{Bmatrix}0\\0 \end{Bmatrix}x^{\underline{0}}=1$
假设
$x^{n-1}=\sum_{k}^{ }\begin{Bmatrix}n-1\\k \end{Bmatrix}x^{\underline{k}}$
则
$\begin{array}{ll} x^{n}&=x \cdot x^{n-1} \\&=x \sum_{k}^{ }\begin{Bmatrix}n-1\\k \end{Bmatrix}x^{\underline{k}} \\&=\sum_{k}^{ }\begin{Bmatrix}n-1\\k \end{Bmatrix}(x-k+k) \cdot x^{\underline{k}} \\&=\sum_{k}^{ }\begin{Bmatrix}n-1\\k \end{Bmatrix}x^{\underline{k+1}}+\sum_{k}^{ }\begin{Bmatrix}n-1\\k \end{Bmatrix}kx^{\underline{k}} \\&=\sum_{k}^{ }\begin{Bmatrix}n-1\\k-1 \end{Bmatrix}x^{\underline{k}}+\sum_{k}^{ }\begin{Bmatrix}n-1\\k \end{Bmatrix}kx^{\underline{k}} \\&=\sum_{k}^{ }(k\begin{Bmatrix}n-1\\k \end{Bmatrix}+\begin{Bmatrix}n-1\\k-1 \end{Bmatrix})x^{\underline{k}} \\&=\sum_{k}^{ }\begin{Bmatrix}n\\k \end{Bmatrix}x^{\underline{k}} \end{array}$

2. $x^{\overline{n}}=\sum_{k}^{ }\begin{bmatrix} n\\k \end{bmatrix}x^{k}$

证明方法类似于上面

而通过 $x^{\underline{n}}=(-1)^{n}(-x)^{\overline{n}}$ ，可以把上面两个式子再进行转换

1. $x^{\underline{n}}=\sum_{k}^{ }\begin{bmatrix} n\\k \end{bmatrix}(-1)^{n-k}x^{k}$
2. $x^{n}=\sum_{k}^{ }\begin{Bmatrix} n\\k \end{Bmatrix}(-1)^{n-k}x^{\underline{k}}$

再对上面两个式子进行结合，可得
$\begin{array}{ll} x^{n} &=\sum_{k}^{ }\begin{Bmatrix} n\\k \end{Bmatrix}(-1)^{n-k}x^{\overline{k}} \\&=\sum_{k}^{ }\begin{Bmatrix} n\\k \end{Bmatrix}(-1)^{n-k}\sum_{m}^{ }\begin{bmatrix} k\\ m \end{bmatrix}x^{m} \\&=\sum_{k,m}^{ }\begin{Bmatrix} n\\k \end{Bmatrix}\begin{bmatrix} k\\ m \end{bmatrix}(-1)^{n-k}x^{m} \end{array}$
因为上面式子满足于任何x，所以这个式子必定是 $x^n=0x^{0}+0x^{1}+...+0x^{n-1}+x^n$ 这种形式。

所以有 $\sum_{k}^{ }\begin{Bmatrix} n\\k \end{Bmatrix} \begin{bmatrix} k\\m \end{bmatrix}(-1)^{n-k}=[m=n]$

广义斯特林数

把斯特林数的n和k扩展到负数，同样满足
$\begin{array}{ll} &\begin{Bmatrix} n\\k \end{Bmatrix}=k\begin{Bmatrix} n-1\\k \end{Bmatrix}+\begin{Bmatrix}n-1\\k-1 \end{Bmatrix} \end{array}$
$\begin{array}{ll} &\begin{bmatrix} n\\k \end{bmatrix}=(n-1)\begin{bmatrix} n-1\\k \end{bmatrix}+\begin{bmatrix}n-1\\k-1 \end{bmatrix} \end{array}$
且第一类斯特林数和第二类斯特林数可以建立关系
$\begin{array}{ll} &\begin{bmatrix} n\\k \end{bmatrix}=\begin{Bmatrix} -k\\-n \end{Bmatrix} \end{array}$

posted @ 2014-03-12 00:30 三吉鬼阅读(376) 评论(0) 收藏举报

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