模拟退火学习笔记——用物理诠释数学

在我们谈到模拟退火之前，我们应该了解什么是退火：

将金属加热到一定温度，保持足够时间，然后以适宜速度冷却(通常是缓慢冷却，有时是控制冷却)的一种金属热处理工艺。

也就是说在退火过程中，有一个初温$T$,末温$t$，而在这个过程中，根据所学的物理知识，温度越高，分子的运动速度越快，于是随着温度由T->t的过程中，分子运动的速度会越来越慢————如果我们用一个函数上的点来表示物体的分子呢？

如果函数上的这个点具有和分子一样的特性，他的运动从原来的大幅度不规则变得频率越来越小，最后趋于稳定，那我们可不可以控制它，使他稳定在函数中的极值呢？

于是便有了模拟退火

模拟退火的实现

因为是模拟，所以说总会有一些物理上的不定量逐渐变得数学化理想化，比如说单位时间内降低温度的变化量在实际中必然不会一成不变，但是我们可以在程序书写过程中将它固定为一个值，于是我们便有了下面的一个大框架式的代码

 while(T>t){

   ………………;

   T*=deltaT;

 }

接下来我们就需要往省略号所存在的部分填入东西了：
首先我们考虑到分子的随机性和他的变化规律，我们需要 $rand()$ 来构造新的点，且必须与$T$相关，所以说往往对于这个新的点 $x$ 都会与温度相关且随机化构造（后文可能会推翻这个观点）。

解决了构造点的问题，我们需要考虑，如果转移之后的y值是更接近极值的，我们便会将答案更改为新的y值。

如果新的y值没有原来的y值优呢？
我们肯定不可能一味的否定不去转移（贪心便是这样废了），需要有概率的转移
那么这个概率是多少呢？
$$e^{\dfrac{\vartriangle f}{kT}}$$
$e$是自然对数，为常数，在$cmath$头文件中，我们可以使用$exp()$来求$e$的次方值，而由于概率∈[0,1]，而对于$e^{-x}$且x为整数时，函数值满足概率要求，所以说对于概率与$e$的对数必定为负数，而$k$为物理学常数，近似值为1，所以说k不用考虑，则我们只需要考虑y值的变化量和目前的温度也就是$\frac{\vartriangle f}{T}$，同时由于T>0,所以说$\vartriangle f$小于零。
如果概率大于一个随机数，那么就要尝试去进行转移。
我们注意到点的确定和概率都需要用到随机数，那么随机的方式是如何的呢？

随机数

首先先引进几个东西：
rand()：在[0,32767]取随机数。
RAND_MAX：固定值32767。
2*rand()-RAND_MAX：在[-32767,32767]中取随机数

新构造点

因为定义域可能包括负数，所以说我们选用2*rand()-RAND_MAX来求新的x，由于与T有关，所以需要乘T，由于是关于原来x的变化量，所以说还需要加上x：
xx=x+(2*rand()-RAND_MAX)*T
当然，具体问题具体分析，不是所有题都需要这样子新构造点

判断概率

如果概率大于一个随机数，那么就要尝试去进行转移。 ——上文

显然，随机数是在0与1之间的，于是我们便用rand()/RAND_MAX表示随机数，这种概率的求法比较固定,如果$deltay$表示y值得变化量：

if(exp(-deltay/T)>rand()/RAND_MAX)
if(exp(-deltay/T)*RAND_MAX>rand())

默认$deltay$大于0，对于题目，具体问题具体分析。

至此，模拟退火的理论部分就已经结束了，我们来看一看例题。

例题:

洛谷Haywire

本题较为模板，很容易便可以发现，我们在每一次退火中，可以对两个点进行交换，如果更优，那么更新答案，如果甚至还概率还没有随机数高，我们将它换回来

#include<stdio.h>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<time.h>
using namespace std;
int road[13][13];
int n;
int p[13];
int fworkout(){//函数值求解
	int return_num=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=3;j++){
			return_num+=abs(p[i]-p[road[i][j]]);
		}
	}
	return return_num;
}
int rans=0x7fffffff;
void SA(){//模拟退火
	double startt=90000,endt=1e-16,deltat=0.993;
	while(startt>endt){
		int dx;
		int num=rand()%n+1;
		dx=rand()%n+1;		
		while(dx==num){
			num=rand()%n+1;
			dx=rand()%n+1;
		}
		swap(p[num],p[dx]);
		int new_ans=fworkout();
		if(new_ans<=rans){
			rans=new_ans;
		}
		else if(exp((rans-new_ans)/startt)<rand()/RAND_MAX){
			swap(p[num],p[dx]);
		}
		startt*=deltat;
	}
	return ;
}
int main(){
	srand(time(0));//不用管
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=3;j++){
			scanf("%d",&road[i][j]);
		}
		p[i]=i;
	}
	for(int i=1;i<=257;i++)SA();//模拟退火英文简写
	printf("%d",rans/2);
	return 0;
	
}

虽然这道题比较简单，但是我们也可以积累一些技巧：

我们可以利用概率没有达到随机数的情况简化程序
有时候可以进行多次模拟退火
新的x值不一定有固定的转移方式，可以与T无关
退火的量不一定是一个，可以是两个

洛谷锯木厂选址

这个题的难度主要在于如何用O(1)的方式求解y值，剩下的就很简单：

#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
int w[20005],d[20005];
long long s,sumw[20005],sumd[20005];
long long rans=1e16;
int n;
const double delta=0.993,lastt=1e-14;
long long f(int a,int b){
	return sumw[a]*sumd[a]+sumd[b]*(sumw[b]-sumw[a])+sumd[n+1]*(sumw[n]-sumw[b])-s;
}
void SA(){
	double T=3000;
	int aa=2,bb=3;
	while(T>lastt){
        int a = ((int)(aa+(rand()*2-RAND_MAX)*T)%n+n)%n+1;
        int b = ((int)(bb+(rand()*2-RAND_MAX)*T)%n+n)%n+1;
		while(a>=b){
	        a = ((int)(aa+(rand()*2-RAND_MAX)*T)%n+n)%n+1;
	        b = ((int)(bb+(rand()*2-RAND_MAX)*T)%n+n)%n+1;
		}
		long long past=f(aa,bb);
		long long calc=f(a,b);
		if(calc<past){
			if(calc<rans)rans=calc;
			aa=a;
			bb=b;
		}
		else if(exp(-(calc-past)/T)>rand()/RAND_MAX){
			aa=a;
			bb=b;
		}
		T*=delta;
	}
}
int main(){
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%d%d",&w[i],&d[i]);
		sumw[i]=sumw[i-1]+w[i];
		sumd[i+1]=sumd[i]+d[i];
		s+=sumd[i]*w[i];	
	}
	for(int i=1;i<=50;i++){
		SA();
	}
	printf("%lld",rans);
	return 0;
}

对比两道题的代码，我们可以发现，初温，退火次数，变化量，末温都会有不同，这也就涉及到了模拟退火中很重要的一点：调参
如果参数大了会TLE，如果参数小了会WA，这也正是这种算法的玄学之处吧……
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posted @ 2022-11-13 20:56 nxhx 阅读(119) 评论(0) 收藏举报

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