【拓展欧几里得】——理解

typedef long long LL;

//一种写法（申博版）：
LL exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)
{
    LL d;
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    d=exgcd(b,a%b,y,x);//一定要返回
    y=y-a/b*x;
    return d;
}
d：解得个数
关于exgcd：这个函数的返回值是三个：x，y，d；(视a，b为定值)
但是：不可能写成：return x，y，d;
于是：就用引用的办法去返回数值。

那么，这个函数是什么意思呢？
就是去找出在直线：ax+by+c=0;这条直线上的 坐标为整数的解。
即：d=gcd(a,b)=ax+by;


//另一种更加直观（统一）的写法：
void exgcd(LL a,LL b,LL &d,LL &x,LL &y)
{
    if(b==0)
    //这里返回的是：a=ax+by;
    {
        d=a;
        x=1;
        y=0;
    }
    
    else
    //这里计算的是:d’= gcd(b,a%b)
    //             d‘= bx’+(a%b)y‘
    //即：    d = gcd(a,b) = d’= gcd(b,a%b)
    {
        exgcd(b,a%b,d,y,x);
        y=y-a/b*x;
    }
}

两个结论：
1、    a,b,c为任意整数，
    若方程：ax+by=c 的一组整数解为（x0，y0）；
    则：它的任意整数解为：(x0+kb’,y0-ka‘) (k属于Z)
        其中：a’=a/gcd(a,b) ; b‘=b/gcd(a,b) ;
        
2、    a,b,c为任意整数，
    g=gcd(a,b);
    方程：ax+by=c 的一组整数解为（x0，y0）；
    则：当c是g的倍数时，ax+by=c 的一组解是；（x0c/g,y0c/g）。
        否则该方程无整数解。

 

几何意义：

考虑不定方程：ax+by=1（a，b互质）它等价于同余式ax≡1（mod b）,一般来说当a，b确定求x，y的一组解时要用到拓展欧几里得，

下面尝试运用几何方法得到x y的一组解

建 立直角坐标系，原点为O，取点A坐标为(a,b)(a，b意义前面已给出)，连接AO。因为a，b互质，所以线段AO除端点外肯定不经过任何一个整点 （横纵坐标都是整数的点）

现在将直线AO竖直向上平移，当遇到第一个整点时停止平移，此时整点的横纵坐标x，y即为所求x ，y的解

证明：设第一个碰上的点为P，连接AP,PO,AO,则△APO面积为0.5.

为什么呢？由于三角形内部显然没有整点，边上的整点只有A,P,O三个顶点而已，由皮克定理可得S△APO=0+3/2-1=0.5

          皮克定理：S=a+b÷2-1，其中a表示多边形内部的点数，b表示多边形边界上的点数，s表示多边形的面积。

显然△APO还要和x,y,a,b扯上关系才行，知道叉乘公式的童鞋可能已经想到了，向量OP=（x,y）向量OA=（a，b）则三角形的面积等于（OP×OA）/2=（ax+by）/2=0.5
所以ax+by=1满足上式

 补充博客：http://www.cnblogs.com/ka200812/archive/2011/09/02/2164404.html